Με χ και y!

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε x^2f(y)+yf(x^2)=f(xy)+a,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R},$ όπου

παράμετρος.

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε (1) για κάθε $x,y \in \mathbb{R},$ όπου παράμετρος.

Η (1) για $\displaystyle{x=0}$ δίνει $\displaystyle{(y-1)f(0)=a,\ \forall y \in \Bbb{R} \Rightarrow f(0)=0,a=0}$

Η (1) για $\displaystyle{x=y=1}$ δίνει $\displaystyle{f(1)=0}$

Δηλαδή η (1) γράφεται $\displaystyle{x^2f(y)+yf(x^2)=f(xy)}$ για $\displaystyle{y=1}$ : $\displaystyle{f(x^2)=f(x)}$ , άρα $\displaystyle{x^2f(y)+yf(x)=f(xy)}$ και με εναλλαγή των μεταβλητών έχουμε

$\displaystyle{y^2f(x)+xf(y)=f(xy)}$ , άρα $\displaystyle{x^2f(y)+yf(x)=y^2f(x)+xf(y) \Rightarrow (x^2-x)f(y)=(y^2-y)f(x)}$ και για $\displaystyle{x,y \neq 0,1}$ έχουμε:

$\displaystyle{\frac {f(y)}{y^2-y}=\frac {f(x)}{x^2-x}}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{f(x)=c(x^2-x), x \neq 0,1}$ , η οποία για να επαληθεύει την αρχική πρέπει $\displaystyle{c=0}$ .

Άρα η μοναδική λύση είναι η $\displaystyle{f(x)=0,\ \forall x \in \Bbb{R}}$

Με χ και y!

Με χ και y!

Re: Με χ και y!

Μέλη σε σύνδεση