Να βρεθεί

#1

==============================================================
Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ η οποία για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ ικανοποιεί τη σχέση : $f(xy) \geq f(x)f(y) \geq (xy)^2$

================================================================
αυτή η άσκηση ,στο βιβλίο που τη βρήκα έχει την υπογραφή του δικού μας Μπάμπη Στεργίου

Μπάμπη νά σαι καλά
σου στέλνω την καλησπέρα μου

konkyr · #2

Καλησπέρα Φωτεινή.

Έχουμε: f(χψ) $\succeq$ f(χ)*f(ψ) $\succeq$ (χ*ψ $)^{2}$ (Ι)

Για χ=ψ=1 παίρνω :f(1) $\succeq$ \displaystyle{f^{2}(1)} $\geq$ 1

άρα f(1) $\succeq$ 1 (α) και f(1) $\succeq$ $f^{2}$ (1) $\Rightarrow$ f(1)*(1-f(1)) $\geq$ 0 $\Rightarrow$ f(1) $\preceq$ 1 (β).Από σχέσεις (α) και (β) προκύπτει f(1)=1.

Θέτω στην αρχική ψ= $\frac{1}{x}$ και έχω:f(1) $\succeq$ f(1)*f( $\frac{1}{x}$ ) $\succeq$ 1 $\Rightarrow$ 1 $\geq f(x)*f(\frac{1}{x})\geq 1$ .Άρα $f(x)*f(\frac{1}{x})=1$ ,όπότε $f(\frac{1}{x})=\frac{1}{f(x)}$

Θέτω στην (Ι) όπου ψ=1 και έχω: $f(x)\succeq f(x)*f(1)\succeq x^{2}\Rightarrow f(x)\geq f(x)\geq x^{2}$ .(γ)

Στην $f(x)\geq x^{2}$ θέτω όπου χ το 1/χ και παίρνω $f(\frac{1}{x})\geq \frac{1}{x^{2}}\Rightarrow \frac{1}{f(x)}\geq \frac{1}{x^{2}}\Rightarrow f(x)\leq x^{2}$ (δ)

Από σχέσεις (γ) και (δ) παίρνω f(χ)= $x^{2}$

#3

καλημέρα Κωνσταντίνα,ευχαριστώ για τη λύση σου
θα συμπληρώσω με μπλε έναν περιορισμό

konkyr έγραψε:Καλησπέρα Φωτεινή.

Έχουμε: f(χψ) $\succeq$ f(χ)*f(ψ) $\succeq$ (χ*ψ $)^{2}$ (Ι)

Για χ=ψ=1 παίρνω :f(1) $\succeq$ \displaystyle{f^{2}(1)} $\geq$ 1

άρα f(1) $\succeq$ 1 (α) και f(1) $\succeq$ $f^{2}$ (1) $\Rightarrow$ f(1)*(1-f(1)) $\geq$ 0 $\Rightarrow$ f(1) $\preceq$ 1 (β).Από σχέσεις (α) και (β) προκύπτει f(1)=1.

Θέτω στην αρχική ψ= $\frac{1}{x}$ και έχω:f(1) $\succeq$ f(1)*f( $\frac{1}{x}$ ) $\succeq$ 1 $\Rightarrow$ 1 $\geq f(x)*f(\frac{1}{x})\geq 1$ .Άρα $f(x)*f(\frac{1}{x})=1$ ,όπότε $f(\frac{1}{x})=\frac{1}{f(x)},\,\,\color{blue}x\neq 0$

Θέτω στην (Ι) όπου ψ=1 και έχω: $f(x)\succeq f(x)*f(1)\succeq x^{2}\Rightarrow f(x)\geq f(x)\geq x^{2}$ .(γ)

Στην $f(x)\geq x^{2}$ θέτω όπου χ το 1/χ και παίρνω $f(\frac{1}{x})\geq \frac{1}{x^{2}}\Rightarrow \frac{1}{f(x)}\geq \frac{1}{x^{2}}\Rightarrow f(x)\leq x^{2},\,\,\color{blue}x \neq 0$ (δ)

Από σχέσεις (γ) και (δ) παίρνω f(χ)= $x^{2},\,\,\color{blue}x \neq 0$

και επειδή η

είναι συνεχής στο x_0=0

,θα είναι $\displaystyle{f(0)= \lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}x^2 = 0}$
άρα τελικά $f(x)=x^2 , x\in \mathbb{R}$
και επειδή ο κύριος Αντώνης είναι πάντα παρών
να μη ξεχνάμε ότι
η $f(x)=x^2 , x\in \mathbb{R}$ ικανοποιεί την αρχική σχέση

johnmad · #4

Μια μικρή παρατήρηση
η αντικατάσταση ψ=1/χ δεν ισχύει για χ διάφορο του μηδενός?
έστω f(0) = c
βρίσκοντας την f(x) = x^2 για χ διάφορο του μηδενός και χρησιμοποιώντας την συνέχεια, το f(0) βγαίνει 0 οπότε f(x) = x^2 για κάθε χεR

edit γράφω υπερβολικά αργά οπότε με πρόλαβε η φωτεινή.

#5

johnmad έγραψε: edit γράφω υπερβολικά αργά οπότε με πρόλαβε η φωτεινή.

δεν πειράζει "johnmad",δεν κάνουμε αγώνες ταχύτητας
σημασία έχει ότι το πρόσεξες
νά σαι καλά

konkyr · #6

Ευχαριστώ πολύ για τη διόρθωση !!!

Να βρεθεί

Να βρεθεί

Re: Να βρεθεί

Re: Να βρεθεί

Re: Να βρεθεί

Re: Να βρεθεί

Re: Να βρεθεί

Μέλη σε σύνδεση