Ελάχιστη τιμή

christodoulou · #1

Αν $\left|z \right|=2$ να βρείτε την ελάχιστη τιμή του $\left|z^{2}+z-4 \right|$ .

#2

Εχω:
$\displaystyle{\left| {{z^2} + z - 4} \right| = \left| {{z^2} + z - z\overline z } \right| = \left| z \right|\left| {z - \overline z + 1} \right| = 2\left| {1 + 2{\mathop{\rm Im}\nolimits} (z)i} \right|, - 2 \le {\mathop{\rm Im}\nolimits} (z) \le 2}$
Ή
$\displaystyle{\left| {{z^2} + z - 4} \right| = 2\left| {1 + 2yi} \right| = 2\sqrt {1 + 4{y^2}} ,y = {\mathop{\rm Im}\nolimits} (z), - 2 \le y \le 2}$
Ένας γρήγορος έλεγχος μονοτονίας για τη συνάρτηση:
$\displaystyle{g(y) = 2\sqrt {1 + 4{y^2}} , - 2 \le y \le 2}$ δείχνει πως έχουμε ελάχιστo όταν $\displaystyle{y=0}$ και αυτό είναι ίσο με

Επομένως και η ζητούμενη ελάχιστη τιμή είναι το

και πιάνεται π.χ για το μιγαδικό $\diplsyatyle{z=2+0i}$

#3

τρεις λαλούν...

parmenides51 · #4

μια παρόμοια εδώ κι εδώ

pito · #5

matha έγραψε:
christodoulou έγραψε:Αν $\left|z \right|=2$ να βρείτε την ελάχιστη τιμή του $\left|z^{2}+z-4 \right|$ .
"Κλέβοντας" την απάντηση από τον Χρήστο, θα μπορούσαμε να πούμε και το εξής:

Είναι

$\displaystyle{|z^2+z-4|\geq |z^2+z|-4\geq |z^2|+|z|-4=2}$

και η ισότητα ισχύει όταν $\displaystyle{z=2,}$

άρα

$\displaystyle{\min_{|z|=2}|z^2+z-4|=2.}$

Θάνο δεν καταλαβαίνω το βήμα $|z^{2}+z|-4\geq |z|^{2}+|z|-4$ , αφού από την τριγωνική ισχύει
$||z|^{2}-|z||-4\leq |z^{2}+z|-4\leq |z|^{2}+|z|-4$ άρα και $-2\leq |z^{2}+z|-4\leq 2$ .

Κάνω λάθος;;

Ελάχιστη τιμή

Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση