Μια ανισότητα!

#1

Αν $\displaystyle{a,b,c>0,}$ να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{8(a^3+b^3+c^3)^2\geq 9(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab).}$

spiros filippas · #2

matha έγραψε:Αν $\displaystyle{a,b,c>0,}$ να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{8(a^3+b^3+c^3)^2\geq 9(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab).}$

Από ΑΜ-ΓΜ και την προφανή $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$ έχουμε:

$\displaystyle RHS=9(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)\leq 9\left(\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{3} \right)^3$

$\displaystyle \leq \frac{\left(2(a^2+b^2+c^2 \right))^3}{3}$

Συνπώς αρκεί:

$3(a^3+b^3+c^3)^2 \geq(a^2+b^2+c^2)^3$

Αυτή όμως είναι στην ουσία η Ηοlder...

#3

Μία προσπάθεια.
Είναι:
$\displaystyle{{a^2} + bc \le {a^2} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} = \frac{{2{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2}}$
Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι:
$\displaystyle{8{\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)^2} \ge 9\frac{{2{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2}\frac{{2{b^2} + {c^2} + {a^2}}}{2}\frac{{2{c^2} + {a^2} + {b^2}}}{2}}$
ή
$\displaystyle{8{\left( {\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{3}} \right)^2} \ge \frac{{2{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2}\frac{{2{b^2} + {c^2} + {a^2}}}{2}\frac{{2{c^2} + {a^2} + {b^2}}}{2}}$
όμως
$\displaystyle{\frac{{2{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2}\frac{{2{b^2} + {c^2} + {a^2}}}{2}\frac{{2{c^2} + {a^2} + {b^2}}}{2} \le {\left( {\frac{{\frac{{2{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2{b^2} + {c^2} + {a^2} + 2{c^2} + {a^2} + {b^2}}}{2}}}{3}} \right)^3} = {\left( {\frac{{2{c^2} + 2{a^2} + 2{b^2}}}{3}} \right)^3}}$
Αρκεί να δείξω λοιπόν, ότι:
$\displaystyle{8{\left( {\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{3}} \right)^2} \ge {\left( {\frac{{2{c^2} + 2{a^2} + 2{b^2}}}{3}} \right)^3}}$
Ή
$\displaystyle{{\left( {\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{3}} \right)^2} \ge {\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}} \right)^3}}$
που ισχύει αφού πρόκειται για την ανισότητα των δυνάμεων.

Μια ανισότητα!

Μια ανισότητα!

Re: Μια ανισότητα!

Re: Μια ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση