mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 14, 2012 1:10 pm**

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+y)+f(x)f(y)=f(x)f(f(y))+f(xy) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 14, 2012 2:00 pm**

$\displaystyle{x=y=0\Rightarrow f(0)[f(0)-f(f(0))]=0}$ . (1)
$\displaystyle{x=0\Rightarrow f(y)+f(0)f(y)=f(0)f(f(y))+f(0)}$ . (2)

(1) $\displaystyle{\Rightarrow f(0)=0}$ , ή $\displaystyle{f(f(0))=f(0)}$

Θα πάρω δύο περιπτώσεις:

(α) $\displaystyle{f(0)=0}$ .

(2) $\displaystyle{\Rightarrow f(y)=0}$ , δηλαδή $\displaystyle{f(x)=0}$ , kaι επαληθεύει

(β) $\displaystyle{f(f(0))=f(0)}$ .

Αν βάλλω στην αρχική, όπου y=0

, τότε:

$\displaystyle{f(x)+f(x)f(0)=f(x)f(f(0))+f(0)\Rightarrow f(x)+f(x)f(0)=f(x)f(0)+f(0)\Rightarrow f(x)=f(0)}$ , kai επαληθεύει την αρχική.

Τελικά η απάντηση είναι ότι $\displaystyle{f(x)=f(0)}$ , με $\displaystyle{f(0)=c, cER}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 14, 2012 2:32 pm**

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=368503

mathematica.gr

Εύκολη συναρτησιακή (16)

Εύκολη συναρτησιακή (16)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (16)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (16)