Μια ξεχασμένη

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xf(y)+y)+f(xy+x)=f(x+y)+2xy ,

για κάθε $x,y\in \Bbb{R}.$

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... &start=800

Bill K · #2

Για

έχουμε

Για $\displaystyle x=1 \Rightarrow f(f(y)+y)=2y$

Έστω $x_0 \in \Bbb{R}$ τέτοιο ώστε f(x_0)=1

Τότε για $\displaystyle y=x_0 \Rightarrow f(xx_0+x)=2xx_0$

και για $\displaystyle x= \frac{x_0}{x_0+1}$ αφού $x_0 \neq -1$

έχουμε x_0=1

ή $x_0=-\frac{1}{2}$

$\bullet f(1)=1$ για y=1

προκύπτει $\displaystyle \boxed {f(x)=x}$ για κάθε $x \in \Bbb{R}$

$\bullet f(-\frac{1}{2})=1$ για $y=-\frac{1}{2}$ προκύπτει $\displaystyle \boxed {f(x)=-2x}$ για κάθε $x \in \Bbb{R}$

Και οι δύο επαληθεύουν την αρχική σχέση.

Μια ξεχασμένη

Μια ξεχασμένη

Re: Μια ξεχασμένη

Μέλη σε σύνδεση