Ανισότητα!

#1

Ας είναι $\displaystyle{a,b,c>0}$ με $\displaystyle{a^2+b^2+c^2=3.}$ Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{a^4+b^4+c^4+a+b+c\geq 6.}$

nikoszan · #2

Για κάθε

ισχύει ${x^4} + {x^4} + x + x + 1 \ge 5\sqrt[5]{{{x^4}.{x^4}.x.x1}} \Rightarrow 2\left( {{x^4} + x} \right) \ge 5{x^2} - 1 \Rightarrow$ \displaystyle{{x^4} + x \ge \frac{{5{x^2} - 1}}{2}:\left( 1 \right) ,
Λογω της

\left( 1 \right) έχουμε

{a^4} + a + {b^4} + b + {c^4} + c \ge \frac{{5{a^2} - 1}}{2} + \frac{{5{b^2} - 1}}{2} + \frac{{5{c^2} - 1}}{2} =} $\frac{{5\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 3}}{2} = \frac{{5.3 - 3}}{2} = 6 \Rightarrow$
$\Rightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} + a + b + c \ge 6$ .
Ν.Ζ.

spiros filippas · #3

Και λίγο διαφορετικά...

$\displaystyle LHS=\sum{a(a^3+1)}\geq 2a^{\frac{5}{2}}$

Ομως η ανισότητα Holder δίνει:

$\displaystyle \left((a^2)^{\frac{5}{4}}+(b^2)^{\frac{5}{4}}+(c^2)^{\frac{5}{4}} \right)^{\frac{4}{5}}\left(1+1+1 \right)^{\frac{1}{5}} \geq a^2+b^2+c^2=3$

απο που έχουμε το ζητούμενο.

Ανισότητα!

Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση