Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

#1

Ελπίζω το πρώτο ερώτημα να είναι σχολικό. (Χρησιμοποιεί τον σχολικό ορισμό της κυρτότητας

). Το δεύτερο ζητάει να αποδειχθεί η ανισότητα Jensen:

Δίνεται κυρτή συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

1)
α) Να δειχθεί ότι $f(x) \geq f^{\prime}(0)x + f(0)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .
β) Να δειχθεί ότι για κάθε $a \in \mathbb{R}$ έχουμε $f(x+a) \geq f^{\prime}(a)x + f(a)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

2)Να αποδειχθεί ότι για κάθε $x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{R}$ έχουμε $\displaystyle \frac{f(x_1) + \ldots + f(x_n)}{n} \geq f\left( \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}\right)$ .

#2

Στο πρώτο ερώτημα μήπως εννοείς ''για κάθε χ>=ο'';
Ανακαλώ!Και προτείνω λύση!
α)Αφού η f κυρτή στο R έπεται πως η f' είναι γνησίως αύξουσα(παίρνω το σχολικό ορισμό)...Αν εργαστούμε στο [0,χ] και εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ
έχουμε: ότι υπάρχει ξ1 στο (0,χ) με f'(ξ1)=(f(x)-f(0))/x.Όμως f' γνήσια αύξουσα.Αρα:
ξ1>0=> f'(ξ1)>f'(0) απ'όπου f(x)>f'(0)x+f(0) (1)
Mε όμοιο τρόπο δουλεύοντας στο [χ,0] έχουμε πως υπάρχει ξ2 στο (x,0) ώστε f'(ξ2)=(f(0)-f(x))/-x και πάλι
λόγω της μονοτονίας της f' προκύπτει,με λίγη προσοχή στις πράξεις ξ2<0=> f'(ξ2)<f'(0) και τελικά
f(x)>f'(0)x+f(0) (2).
Για χ=0 είναι προφανές πως ισχύει η ισότητα (3)...Απο (1),(2) και (3) προκύπτει το ζητούμενο.
Συγνώμη για την αρχή,αλλά βιάστηκα....
β)Αν α=0 είναι το...α)!
Αν α> 0 κάνω τα ίδια με το α) στο [α,α+χ],ενώ αν α<0 κάνω τα ίδια με το α)(τι σύμπτωση!) στο [χ+α,α]...
2)Στην ανισότητα jensen θα δούλευα επαγωγικά,αλλά επειδή τα έχω κάνει ήδη μαντάρα,σταματάω κάπου εδώ...Παρακαλώ όποιον διαχειριστή μπορέσει,να διαγράψει το παρακάτω μήνυμα αφού το δημιούργησα κατά λάθος .Γρηγόρη ευχάριστώ για όλα!

mathxl · #3

Το γ δεν μου αρέσει έτσι όπως το έκανα

#4

2)
για την κυρτη f αποδεικνυεται ευκολα οτι $f(\frac{x_1+x_2}{2})\leq \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ ,

επισης

$f(\frac{x_1+x_2+x_3}{3})\leq \frac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)}{3}$ ,

αφου θεωρησαμε

$g(x)=3f(\frac{x_1+x_2+x}{3})-f(x_1)-f(x_2)-f(x)$

στη συνεχεια εργαζομαστε με μαθηματικη επαγωγη και ...βγαινει
--------
για να πληκτρολογησω ολα αυτα πρεπει να γραφω μεχρι αυριο

#5

mathxl έγραψε:Το γ δεν μου αρέσει έτσι όπως το έκανα

Δυστυχώς δεν μπορώ να διαβάσω την λύση σου. Χρησιμοποιώ open office και όχι word αλλά δυστυχώς αν και ανοίγει αρχεία .doc, τις φόρμουλες που έχεις δεν τις διαβάζει. (Αν κάποιος έχει ιδέα πως να το κάνω να τις διαβάζει θα του ήμουν ευγνώμων.)

Αλλά, από ότι καταλαβαίνω, προσπαθείς να την αποδείξεις επαγωγικά. Μπορεί να αποδειχτεί έτσι και είναι η απόδειξη που συναντά συνήθως κάποιος. Υπάρχει όμως λόγος που έβαλα το ερώτημα 1β

Το ίδιο σχόλιο ισχύει και για τον/την joulia1961.

mathxl · #6

Ναι έκανα επαγωγή όπως η Φωτεινή...παρόμοια
για το έγγραφο μου, έχει μέσα αντικείμενα mathtype, οπότε εάν δεν το έχεις μχμχμ... τελοςπάντων αφού μάντεψες τον τρόπο μου, περιμένω από κάποιον άλλο συνάδελφο την λύση μέσω αξιοποίησης του β (δεν το παλεύω άλλο
)

Δίνω την λύση μου ωσ εικόνες (2 αρχεία)
λολ οι εικόνες ε΄΄ιναι ε διαφορετική σειρά

#7

Demetres έγραψε:Δυστυχώς δεν μπορώ να διαβάσω την λύση σου. Χρησιμοποιώ open office και όχι word αλλά δυστυχώς αν και ανοίγει αρχεία .doc, τις φόρμουλες που έχεις δεν τις διαβάζει.

mathxl έγραψε:...παρόμοια για το έγγραφο μου, έχει μέσα αντικείμενα mathtype, οπότε εάν δεν το έχεις μχμχμ...

Συγγνώμη πού παρεμβαίνω, αλλά νά σημειώσω ένα δύο θέματα:
α) είμαστε στό αρχικό στάδιο τής νέας περιόδου τού mathematica, όπου καλούμαστε νά γράφουμε μηνύματα σέ $\LaTeX$ . Επομένως υπάρχει κατανόηση γιά όσους δυσκολεύονται μέ τό $\LaTeX$ καί δημοσιεύουν τίς ασκήσεις ή τίς λύσεις σέ συννημένα αρχεία. Όμως η σύνναψη αρχείου, αντί τής γραφής μηνύματος, έχει αρκετά προβλήματα:

1) Δέν είναι άμεσα αναγνώσιμα από οποιονδήποτε,
2) Δέν είναι καθόλου αναγνώσιμα μερικές φορές, όπως π.χ. ένα word δέν είναι αναγνώσιμο από τό openoffice καί αντιστρόφως. Η μορφή .pdf τουλάχιστον, είναι συμβατή μέ όλα τά Ο.S.

β) Όση κατανόηση υπάρχει γιά αυτούς πού δέν ήξεραν νά γράφουν σέ $\LaTeX$ προηγούμενα, άλλο τόσο θά έπρεπε νά υπάρχει προσπάθεια από μέρους τους, ώστε νά μάθουν.

Φαντάζομαι θά επανέλθουμε στό συγκεκριμένο θέμα.

Demetres έγραψε:Αν κάποιος έχει ιδέα πως να το κάνω να τις διαβάζει θα του ήμουν ευγνώμων.

Δημήτρη καί γώ οο έχω. Άνοιγέ τα καλύτερα μέ τό Math, αλλά μήν περιμένεις καί πολλά!

#8

Γρηγόρη, ευχαριστώ για την συμβουλή αλλά δυστυχώς ούτε με το Math διαβάζεται.

mathxl, δεν έχω διαβάσει όλες τις λεπτομέρειες. Αν θυμάμαι καλά υπάρχει ένα κόλπο που την κάνει πιο σύντομη (αλλά πάλι αρκετά μπελαλίδικη)

Με το 1β όμως βγαίνει σε δυο γραμμές. Αρκεί κάποιος να διαλέξει το κατάλληλο α.

#9

Με το 1β όμως βγαίνει σε δυο γραμμές. Αρκεί κάποιος να διαλέξει το κατάλληλο α.

-----------------
είμαι περίεργη να δω αυτό το !!! α !!!

#10

Φωτεινή,ενώνω τη δική μου περιέργεια με τη δική σου....

#11

Χωρίς να είναι πιό δύσκολο μπορούμε να αποδείξουμε την κάπως πιό γενική ανισότητα:
$f\left( \lambda _{1}x_{1}+...+\lambda _{n}x_{n}\right) \leq \lambda _{1}f\left( x_{1}\right) +...+\lambda _{n}f\left( x_{n}\right)$
με $\lambda _{i}\in \left[ 0,1\right]$ και $\lambda _{1}+...+\lambda _{n}=1$ .
Την περίπτωση n=2

την αφήνω αναπόδεικτη μιάς και είναι πασίγνωστη άσκηση που αποδεικνύεται με το θεώρημα μέσης τιμής αλλά και μελέτη συνάρτησης.
Για το βήμα της επαγωγής από

σε

αρκεί να γράψουμε (αν $\lambda _{k+1}=1$ διαλέγουμε κάποιο άλλο που δεν είναι 1):
$\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+...+\lambda _{k}x_{k}+\lambda _{k+1}x_{k+1}=$
$\left( 1-\lambda _{k+1}\right) \left( \frac{\lambda _{1}}{1-\lambda _{k+1}}x_{1}+\frac{\lambda _{2}}{1-\lambda _{k+1}}x_{2}+...+\frac{\lambda _{k}}{1-\lambda _{k+1}}x_{k}\right) +\lambda _{k+1}x_{k+1}$
και να εφαρμόσουμε την ανισότητα για n=2

και μετά την υπόθεση της επαγωγής για n=k

.
Μαυρογιάννης

#12

Προσπαθούσα να σας οδηγήσω στην ακόλουθη απόδειξη της Jensen:

Η 1β με $a = \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}$ και x = x_i - a

δίνει $\displaymath f(x_i) \geq \left(x_i-\frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \right)f^{\prime}\left(\frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}\right) + f\left(\frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \right)$ . Παίρνοντας το άθροισμα από 1 έως n μας δίνει την Jensen επειδή $\sum_{i=1}^n\left(x_i - \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}\right) = 0$ .

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να πάρουμε και την πιο γενική μορφή που προτείνει ο Νίκος.

mathxl · #13

#14

Πολύ καλό!Και θα έλεγα ξεκούραστο...Έτσι κι έκανα την απόπειρα να το αποδείξω επαγωγικά,με τόσες παραγώγους που θα έγραφα,ο Γρηγόρης θα με έβριζε(και με το δίκιο του,τόσα 39 που θα εμφανιζόντουσαν)...

#15

chris_gatos έγραψε:...ο Γρηγόρης θα με έβριζε(και με το δίκιο του,τόσα 39 που θα εμφανιζόντουσαν)...

Είδες από τί "χαμαλοδουλειά" σέ γλύτωσα;

Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

Re: Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

Re: Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

Re: Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

Re: Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

Re: Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

Re: Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

Re: Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

Re: Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

Re: Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

Re: Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

Re: Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

Re: Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

Re: Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

Re: Κυρτότητα και ανισότητα Jensen

Μέλη σε σύνδεση