Της νύχτας τα καμώματα (2) !!!

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και η διχοτόμος του από το που τέμνει τον περιγεγραμμένο του κύκλο στο σημείο .

Έστω ότι η εφαπτόμενη του στο σημείο τέμνει τις ευθείες στα σημεία αντίστοιχα και οι εφαπτόμενες από τα στον έχουν

σημεία επαφής τα και τέμνουν την εφαπτόμενη του στο στα σημεία αντίστοιχα. Αν το αντιδιαμετρικό του (ως προς τον ) να δείξετε ότι:

[attachment=0]Ακόμα μια νύχτα !!!.png[/attachment]
i) Οι διέρχονται από το ίδιο σημείο ((έχει ξανασυζητηθεί παλαιότερα)

ii) Οι συγκλίνουν στο σημείο (συζητήθηκε πρόσφατα (θεωρείστε το γνωστό)

iii) Οι ευθείες συγκλίνουν στο ίδιο σημείο (έστω ) καθώς και οι ευθείες συγκλίνουν στο ίδιο σημείο (έστω ).

iv) Η διέρχεται από το σημείο και μάλιστα το είναι το μέσο του τμήματος και .

v) Αν να δειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά

vi) Η τετράδα είναι αρμονική.

Στάθης

[Σακης]

Βάζω λύση προς το παρόν για τα πρώτα 3 και το τελευταίο.



Έστω και και .
Η είναι η πολική του ως προς τον κύκλο, η του , και οι των αντιστοίχως.
Συνεπώς η είναι η πολική του και η η πολική του και το ανήκει στις πολικές των και .
Άρα η είναι η πολική του και άρα το είναι ο πόλος της .

Τώρα έστω τα σημεία τομής των και με την .
Το είναι πλήρες τετράπλευρο οπότε οι διαγώνιές του ανά δύο, τέμνουν την τρίτη σε αρμονικά συζυγή των αντιστοίχων κορυφών.
Έτσι οι τετράδες και είναι αρμονικές.
Εφόσον όμως το είναι το αρμονικό συζυγές του και η είναι τέμνουσα του κύκλου, έχουμε ότι το ανήκει στη πολική του .
Διαφορετικά, η πολική του θα έτεμνε την σε σημείο διάφορο του , που θα ήταν και αυτό αρμονικά συζυγές του , άτοπο.

Ομοίως το ανήκει και στην πολική του , άρα το είναι ο πόλος της και άρα .




Εφόσον εφαπτόμενες και τέμνουσα του κύκλου, έχουμε ότι το τετράπλευρο είναι αρμονικό.
Άρα η δέσμη , είναι αρμονική. Συνεπώς η τέμνει την στο αρμονικό συζυγές του ως προς τα , έστω .

Ομοίως, το τετράπλευρο είναι αρμονικό, άρα η δέσμη είναι αρμονική και η διέρχεται από το αρμονικό συζυγές του ,
δηλαδή, το .

Οπότε οι συντρέχουν στο και η τετράδα είναι αρμονική.




Έστω .
Αφού η δέσμη είναι αρμονική, η τετράδα είναι αρμονική, οπότε και η δέσμη είναι αρμονική.
Χρησιμοποιώντας το ίδιο επιχείρημα από το ερώτημα, το ανήκει στη πολική του .
Ακόμα, το ανήκει και στην , που είναι η πολική του . Άρα τα ανήκουν στην πολική του και άρα η είναι η πολική του .
Άρα . Η είναι η πολική του οπότε έχουμε και .
Τέλος οι είναι κάθετες στις αντιστοίχως λόγω των εφαπτομένων.
Εφόσον λοιπόν η δέσμη είναι αρμονική και η δέσμη έχει τις ακτίνες της μία προς μία κάθετες σε αυτές της πρώτης,
είναι και αυτή αρμονική. Άρα η διέρχεται από το αρμονικό συζυγές του ως προς τα , και άρα οι συντρέχουν στο .

Δουλεύοντας ομοίως με τα σημεία και προκύπτει ότι και οι συντρέχουν στο .

[Σακης]

Άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο

Από το εγγεγραμμένο πλήρες τετράπλευ.ρο εχουμε ότι η είναι η πολική του . Όμως και η είναι η πολική του .
Οπότε το βρίσκεται πάνω στην .

Τώρα πέρνουμε το ότι η δέσμη είναι αρμονική.
Η είναι αρμονική δέσμη και η είναι παράλληλη προς την ακτίνα της,.

Συνεπώς η διέρχεται από το μέσον του .
Ομοίως το ανήκει στην και η διέρχεται και αυτή από το .

[Σακης]

Το είναι το σημείο τομής της εξωτερικής διχοτόμου της με τον κύκλο.
Η είναι αρμονική δέσμη, οπότε το είναι το αρμονικό συζυγές του ως προς τα .
Έστω . Από θ.Ceva στο έχουμε ότι οι συντρέχουν, άρα η διέρχεται από το .
Εφόσον η είναι σεβιανή τριάδα, η περνάει από το αρμονικό συζυγές του ,δηλαδή το .

Το ανήκει στην , δηλαδή , στη πολική του , άρα και το ανήκει στη πολική του .
Ακόμη το ανήκει στη πολική του , άρα η είναι η πολική του .

Έστω . Άφου η είναι η πολική του , η τετράδα είναι αρμονική.
Οπότε η δέσμη είναι αρμονική.
Αν και , τότε έχουμε ότι η τέμνει την στο αρμονικό συζυγές του ως προς τα .
Παράλληλα όμως ξέρουμε ότι , άρα η δέσμη είναι αρμονική και άρα η τέμνει και αυτή την
στο αρμονικό συζυγές του . Άρα οι συντρέχουν στο .

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Μια μεγάλη υπόκλιση στον ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΑΤΟ Σάκη!!!!