Μιγαδικοί Αρχή μεγίστου

lafkasd · #1

Να χρησιμοποιηθεί η αρχή του μεγίστου για τον υπολογισμό του $\underset{\left| z \right|<1}{\mathop{\sup }}\,\left| {z^{3}}+\sqrt{5}z-99 \right|$

#2

Επειδή η μιγαδική συνάρτηση $\displaystyle{f\left( z \right) = {z^3} + \sqrt 5 z - 99}$ είναι αναλυτική, θα έχουμε $\displaystyle{\mathop {\sup }\limits_{\left| z \right| < 1} \left| {f\left( z \right)} \right| = \mathop {\max }\limits_{\left| z \right| = 1} \left| {f\left( z \right)} \right|}$ .

Για $\displaystyle{\left| z \right| = 1}$ προκύπτει $\displaystyle{z = \cos \theta + i\sin \theta }$ , άρα $\displaystyle{f\left( z \right) = f\left( \theta \right) = \cos \left( {3\theta } \right) + \sqrt 5 \cos \theta - 99 + i\left( {\sin \left( {3\theta } \right) + \sqrt 5 \sin \theta } \right)}$ , οπότε

$\displaystyle{\left| {f\left( \theta \right)} \right| = \sqrt {{{\left( {\cos \left( {3\theta } \right) + \sqrt 5 \cos \theta - 99} \right)}^2} + {{\left( {\sin \left( {3\theta } \right) + \sqrt 5 \sin \theta } \right)}^2}} = \sqrt {6 + {{99}^2} + 2\sqrt 5 \cos \left( {2\theta } \right) - 198\left( {\cos \left( {3\theta } \right) + \sqrt 5 \cos \theta } \right)} = }$

$\displaystyle{ = \sqrt {6 + {{99}^2} + 2\sqrt 5 \left( {2{{\cos }^2}\theta - 1} \right) - 198\left( {4{{\cos }^3}\theta - \left( {3 - \sqrt 5 } \right)\cos \theta } \right)} = \sqrt { - 198 \cdot 4 \cdot {{\cos }^3}\theta + 4\sqrt 5 {{\cos }^2}\theta + 198\left( {3 - \sqrt 5 } \right)\cos \theta + 6 + {{99}^2} - 2\sqrt 5 } }$

Για την συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = - 198 \cdot 4{x^3} + 4\sqrt 5 {x^2} + 198\left( {3 - \sqrt 5 } \right)x + 6 + {99^2} - 2\sqrt 5 \quad ,\;x \in \left[ { - 1\,,\,1} \right]}$ . εύκολα προκύπτει ότι $\displaystyle{g\left( x \right) \downarrow \;,\;x \in \left[ { - 1\,,\,1} \right]}$ ,

επομένως $\displaystyle{\mathop {\sup }\limits_{\left| z \right| < 1} \left| {f\left( z \right)} \right| = \mathop {\max }\limits_{\left| z \right| = 1} \left| {f\left( z \right)} \right| = \left| {f\left( {\theta = \pi } \right)} \right| = \sqrt {198 \cdot 4 + 4\sqrt 5 - 198\left( {3 - \sqrt 5 } \right) + 6 + {{99}^2} - 2\sqrt 5 } = \sqrt {10.005 + 200\sqrt 5 } \approx 102,2361}$ .

Μιγαδικοί Αρχή μεγίστου

Μιγαδικοί Αρχή μεγίστου

Re: Μιγαδικοί Αρχή μεγίστου

Μέλη σε σύνδεση