Κοινή εφαπτομένη

barney · #1

Καλησπέρα,έχω μια άσκηση στην οποία έχω κολλήσει,οπότε όποια βοήθεια ευπρόσδεκτη
---------------
έστω f,g

συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο x_0=0

για τις οποίες ισχύει
$(f(ax) + g(bx))^2 \leq f(2bx)g(ax)$
Νδο C_f,C_g

έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό σημείο x_0=0

-----------

(Λογικά τα a,b ανήκουν στο $\mathbb{R}$ αν και δεν είμαι σίγουρος μήπως είναι a,b>0
και το ότι λέει : στο κοινό σημείο x_0=0

λογικά εννοεί f(0)=g(0)

)

Από τις δύο σχέσεις μπορούμε να βρούμε ότι f(0)=g(0)=0

και έτσι $f'(0)=lim_{x\rightarrow 0} f(x)/x$
$g'(0)=lim_{x\rightarrow 0} g(x)/x$

Πως το συνεχίζουμε για να φτάσουμε στο ότι f'(0)=g'(0);;
ή μήπως όλα όσα λέω είναι λάθος;;
(άμα πόσταρα σε λάθος τοπικ συγνώμη)
Ευχαριστώ

#2

barney έγραψε:Καλησπέρα,έχω μια άσκηση στην οποία έχω κολλήσει,οπότε όποια βοήθεια ευπρόσδεκτη
---------------
έστω συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο για τις οποίες ισχύει
$(f(ax) + g(bx))^2 \leq f(2bx)g(ax)$
Νδο έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό σημείο

Μια απόπειρα ξεκινήματος.

Για x=0

η δοσμένη σχέση γίνεται:

$(f(0) + g(0))^2 \leq f(0)g(0) \Leftrightarrow f^2(0)+g^2(0)+f(0)g(0) \leq 0 (I)$ .

Αφού η συνάρτηση με τύπο h(x)=x^2+kx+k^2

είναι δευτέρου βαθμού με διακρίνουσα $-3k^2 \leq 0$ ,

έχουμε ότι $h(x) \geq 0$ .

Αν $k \neq 0$ , τότε h(x)>0

, ενώ αν

έχουμε $h(x)=x^2 \geq 0$ .

Συνεπώς για να ισχύει η (I)

πρέπει

, άρα το σημείο (0,0)

είναι κοινό σημείο των C_f,C_g

.

Για $x \neq 0$ και $a \neq 0$ έχουμε:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(ax)}{x}=\lim_{u \rightarrow 0}\frac{af(u)}{u}=af^{\prime}(0)}$ .

Για $x \neq 0$ διαιρούμε τη δοσμένη με x^2

και έχουμε:

$\displaystyle{\left( \frac{f(ax)}{x} + \frac{g(bx)}{x} \right )^2 \leq \frac{f(2bx)}{x}\frac{g(ax)}{x}}$ .

Συνεπώς αν $a,b\neq 0$ έχουμε παίρνοντας όριο στο 0:

$\displaystyle{(af'(0)+bg'(0))^2 \leq 2bf'(0) ag'(0) \Leftrightarrow a^2f'^2(0)+b^2g'^2(0) \leq 0 \Leftrightarrow f'(0)=g'(0)=0$ .

Θέλω να ψάξω λίγο τις περιπτώσεις a=0,b=0

#3

Επανέρχομαι...

Αν a=b=0

οι συναρτήσεις με τύπους f(x)=x^2,g(x)=x

ικανοποιούν τη δοσμένη, αλλά δεν έχουν κοινή εφαπτομένη στο (0,0)

.

Αν $a=0, b \neq 0$ η αρχική σχέση γίνεται: $g^2(bx) \leq f(2bx) (II)$ .

Για x>0

η

γίνεται $\displaystyle{g(bx)\frac{g(bx)}{x} \leq \frac{f(2bx)}{x}}$ ,

όπου παίρνοντας όριο στο 0^+

βρίσκουμε: $\displaystyle{g(0)bg'(0) \leq 2bf'(0) \Leftrightarrow f'(0) \geq 0}$ .

Για x<0

η

γίνεται $\displaystyle{g(bx)\frac{g(bx)}{x} \geq \frac{f(2bx)}{x}}$ ,

όπου παίρνοντας όριο στο 0^-

βρίσκουμε: $\displaystyle{g(0)bg'(0) \geq 2bf'(0) \Leftrightarrow f'(0) \leq 0}$ .

Επομένως f'(0)=0

.

Δεν βλέπω πως θα μπορούσε να προκύψει g'(0)=0

.

Μήπως θα πρέπει $a,b \neq 0$ ;;;

Ας δούμε και άλλες απόψεις ...

barney · #4

Ευχαριστώ πολύ για την λύση
Υποθέτω πως θα θέτει περιορισμό στα α,β ως προς το 0,όπως λες,γιατί δεν είχα την ακριβή διατύπωση της άσκησης.

Κοινή εφαπτομένη

Κοινή εφαπτομένη

Re: Κοινή εφαπτομένη

Re: Κοινή εφαπτομένη

Re: Κοινή εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση