τρεις διαφορετικές με Bolzano(Γ-ΛΥΚ-ΚΑΤ)

dennys · #1

1) Aν οι συναρτήσεις $f(x),\,g(x)$ είναι συνεχείς στο $\mathbb R$ και

ισχύει f^2(x)+g^2(x)=2

, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) g(x)=x

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [-1,1]

.

2) Aν η συνάρτηση f(x)

είναι συνεχής στο $\mathbb R$ και f(2)+f(6)<10<f(3)+f(5)

,

να αποδείξετε ότι υπάρχουν $a,b\in R, a+b=8 : f(a)+f(b)=10$ .

3) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x^5+x+1

.
. . a) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0,1): f^{-1}(\xi)=2\xi-1$ .

. . b) Aν $z=x+f(x)i, \, w=x+f^{-1}(x)i$ δύο μιγαδικοί, να αποδείξετε ότι οι γραμμές των εικόνων τους τέμνονται τουλάχιστον σε ένα σημείο.

Είναι το σημείο μοναδικό; Για την τιμή του ερωτήματος να αποδείξετε ότι το τρίγωνο OAB

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, όπου

A,B

οι εικόνες των $z, \bar z$

dennys

Stavroulitsa · #2

Καλησπέρα!!

Προλαβαίνω να απαντήσω μόνο την πρώτη άσκηση αυτη τη στιγμη..

για

έχουμε
$f^{2}\left(1 \right)+g^{2}\left(1 \right)=2\Leftrightarrow 1=\frac{f^{2}\left(1 \right)+g^{2}\left(1 \right)}{2}$
επίσης για x=-1

εχουμε
$f^{2}\left(-1 \right)+g^{2}\left(-1 \right)=2\Leftrightarrow 1=\frac{f^{2}\left(-1 \right)+g^{2}\left(-1 \right)}{2}$
θέτουμε $h\left(x \right)=f\left(x \right)g\left(x \right)-x$
και για x=1

έχουμε
$h\left(1 \right)=f\left(1 \right)g\left(1 \right)-1=f\left(1 \right)g\left(1 \right)-\frac{f^{2}\left(1 \right)+g^{2}\left(1 \right)}{2}=-\frac{1}{2}\left(f\left(1 \right)-g\left(1 \right) \right)^{2}$
και για x=-1

έχουμε
$h\left(-1 \right)=f\left(-1 \right)g\left(-1 \right)+1=f\left(-1 \right)g\left(-1 \right)+\frac{f^{2}\left(-1 \right)+g^{2}\left(-1 \right)}{2}=\frac{1}{2}\left(f\left(-1 \right)+g\left(-1 \right) \right)^{2}$
οπότε $h\left(1 \right)\cdot h\left(-1 \right)=-\frac{1}{4}\left(f^{2}\left(1 \right)-g^{2}\left(1 \right) \right)^{2}\cdot \left(f^{2}\left(-1 \right)+g^{2}\left(-1 \right) \right)^{2}<0$
επίσης οι

και

είναι συνεχείς στο $\left[-1,1\right]$
άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in \left(-1,1 \right)$ τετοιο ώστε
$h\left(\xi \right)=0\Leftrightarrow f\left(\xi \right)g\left(\xi \right)=\xi$

dennys · #3

Σταυρουλιτσα καλημέρα

πολύ ωραία η λύση σου. Θα έπρεπε όμως να πάρεις τις ανισοτητες όχι γνήσιες αφού $x^2\ge 0, \forall x \in R$

Διονύσης

BAGGP93 · #4

Καλησπέρα και από μένα με μία λύση για το 2)

Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχουν $\displaystyle{a,b\in\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{a+b=8}$ και τέτοιοι,

ώστε $\displaystle{f(a)+f(b)=10}$

Αρκεί να προσδιορίσουμε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ τέτοιο,ώστε $\displaystyle{f(x)+f(8-x)=10}$

Τότε για $\displaystyle{a=x}$ και $\displaystyle{b=8-x}$ είναι $\displaystyle{a+b=8}$ και $\displaystyle{f(a)+f(b)=10}$

Για τον σκοπό αυτό,θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{g(y)=f(y)+f(8-y)-10}$

Η $\displaystyle{g}$ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων

$\displaystyle{y\mapsto f(y)-10}$ και $\displaystyle{y\mapsto f(8-y)}$ ,όπου η τελευταία είναι συνεχής ως σύνεθση της γραμμικής με τύπο

$\displaystyle{8-y}$ και της συνεχούς συνάρτησης $\displaystyle{f}$

Είναι, $\displaystyle{g(2)\cdot g(3)=\left(f(2)+f(6)-10\right)\cdot \left(f(3)+f(5)-10\right)<0}$

Βλέπουμε ότι η $\displaystyle{g}$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος BOLZANO στο διάστημα $\displaystyle{\left[2,3\right]}$

και συνεπώς υπάρχει $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ ώστε $\displaystyle{g(x)=0}$ ,δηλαδή $\displaystyle{f(x)+f(8-x)=10}$

gian7 · #5

dennys έγραψε: 3) Δίνεται η συνάρτηση .
. . a) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0,1): f^{-1}(\xi)=2\xi-1$ .

. . b) Aν $z=x+f(x)i, \, w=x+f^{-1}(x)i$ δύο μιγαδικοί, να αποδείξετε ότι οι γραμμές των εικόνων τους τέμνονται τουλάχιστον σε ένα σημείο.

Είναι το σημείο μοναδικό; Για την τιμή του ερωτήματος να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, όπου

οι εικόνες των $z, \bar z$

dennys

i)Η ισότητα $\displaystyle{f^{-1}(\xi ) = 2\xi -1}$ γίνεται ισοδύναμα : $\displaystyle{f(f^{-1}(\xi )) = f(2\xi -1)\Leftrightarrow f(2\xi -1) = \xi \Leftrightarrow (2\xi -1)^5 + 2\xi -1 + 1 = \xi \Leftrightarrow (2\xi -1)^5 + \xi = 0 }$
Άρα αρκεί να αποδείξω πως υπάρχει $\displaystyle{\xi\epsilon (0,1) : (2\xi - 1)^5 + \xi = 0}$ . Θεωρώ συναρτησή με τύπο $\displaystyle{g(x)=(2x - 1)^5 +x}$ για την οποία ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Bolzano στο $\displaystyle{(0,1)}$ άρα έπεται το ζητούμενο.

ii) Η γραμμή που κινείται ο $\displaystyle{z}$ είναι η $\displaystyle{y = f(x), x\epsilon R}$ ενώ o $\displaystyle{w}$ είναι η $\displaystyle{y = f^{-1} (x), x \epsilon R}$
Για να τέμνονται οι 2 αυτές ευθείες πρέπει να υπάρχει $\displaystyle{χ: f(x) = f^{-1} (x)}$
Αφού η $\displaystyle{f}$ είναι γν.αύξουσα στο $\displaystyle{R}$ ισχύει η ισοδυναμία $\displaystyle{ f(x) = f^{-1} (x) \Leftrightarrow f(x) = x}$ . Όμως $\displaystyle{f(x) = x \Leftrightarrow x^5 + x + 1 = x \Leftrightarrow x^5 = - 1 \Leftrightarrow x = -1}$ . Άρα $\displaystyle{f}$ και $\displaystyle{f^{-1}}$ έχουν μοναδικό κοινό σημείο το σημείο $\displaystyle{(-1,-1)}$
Για $\displaystyle{x=-1}$ η ο $\displaystyle{z}$ γράφεται $\displaystyle{z= - 1 - 1i}$ άρα $\displaystyle{ \bar z = -1 + 1i}$
Άρα $\displaystyle{A(-1,-1)}$ και $\displaystyle{B(-1,1)}$ . To τρίγωνο $\displaystyle{OAB}$ είναι προφανώς ισοσκελές αφου $\displaystyle{|OA| = |OB|}$

τρεις διαφορετικές με Bolzano(Γ-ΛΥΚ-ΚΑΤ)

τρεις διαφορετικές με Bolzano(Γ-ΛΥΚ-ΚΑΤ)

Re: τρεις διαφορετικές με Bolzano

Re: τρεις διαφορετικές με Bolzano

Re: τρεις διαφορετικές με Bolzano

Re: τρεις διαφορετικές με Bolzano

Μέλη σε σύνδεση