ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha, \beta}$ είναι ακέραιοι και ισχύει $\displaystyle{\alpha+ \beta = 1000}$ . Είναι δυνατόν να ισχύει $\displaystyle{3\alpha+5 \beta = 3005}$ ;
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

2. Σε ένα δοχείο υπάρχουν $\displaystyle{6}$ λευκά, $\displaystyle{9}$ κίτρινα, $\displaystyle{12}$ κόκκινα και $\displaystyle{15}$ πράσινα σφαιρίδια. Να προσδιοριστεί ο ελάχιστος αριθμός σφαιριδίων που πρέπει να πάρουμε τυχαία έτσι ώστε να εξασφαλιστεί η παρουσία στο δείγμα τουλάχιστον
α) $\displaystyle{3}$ λευκών,
β) $\displaystyle{5}$ κίτρινων,
γ) $\displaystyle{6}$ κόκκινων,
δ) $\displaystyle{10}$ πράσινων σφαιριδίων
(τέσσερα διαφορετικά ερωτήματα).

3. Δέκα σημεία είναι τοποθετημένα σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου όπως στο σχήμα. Να διαγραφεί ο ελάχιστος αριθμός σημείων έτσι ώστε τα υπόλοιπα να μη σχηματίζουν κανένα ισόπλευρο τρίγωνο.

: Eykleidhs 2005 3o.png (5.05 KiB) Προβλήθηκε 2348 φορές

4. Δίνονται οι αριθμοί: $\displaystyle{A = \frac{1}{99}\left (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{99}\right)}$ και $\displaystyle{B = \frac{1}{100}\left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{100}\right)}$ .
Ποιος είναι μεγαλύτερος και γιατί;

#2

parmenides51 έγραψε:1. Οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha, \beta}$ είναι ακέραιοι και ισχύει $\displaystyle{\alpha+ \beta = 1000}$ . Είναι δυνατόν να ισχύει $\displaystyle{3\alpha+5 \beta = 3005}$ ;
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Η επίλυση του προβλήματος βασίζεται στους εξής απλούς κανόνες:

1) άρτιος +άρτιος =άρτιος,
2) περιττός +περιττός=άρτιος,
3) άρτιος +περιττός =περιττός.

Επειδή $\displaystyle{a+b=1000}$ και το $\displaystyle{1000}$ είναι άρτιος, οι $\displaystyle{a,b}$ είναι και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο περιττοί.

Και στις δύο περιπτώσεις προκύπτει

$\displaystyle{3a+5b=\alpha \rho \tau \iota o \varsigma \ne 3005.}$

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:1. Οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha, \beta}$ είναι ακέραιοι και ισχύει $\displaystyle{\alpha+ \beta = 1000}$ . Είναι δυνατόν να ισχύει $\displaystyle{3\alpha+5 \beta = 3005}$ ;
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Άλλη μια λύση

Αν $3\alpha + 5\beta = 3005$ τότε $3\alpha + 3\beta + 2\beta = 3005$ ή $3\left( {\alpha + \beta } \right) + 2\beta = 3005$

ή $3 \cdot 1000 + 2\beta = 3005$ ή $2\beta = 5$ το οποίο είναι αδύνατο γιατί ο $2\beta$ είναι άρτιος

apotin · #4

parmenides51 έγραψε:4. Δίνονται οι αριθμοί: $\displaystyle{A = \frac{1}{99}\left (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{99}\right)}$ και $\displaystyle{B = \frac{1}{100}\left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{100}\right)}$ .
Ποιος είναι μεγαλύτερος και γιατί;

Έστω $\displaystyle{S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{{99}} > 1}$

Τότε $\displaystyle{A = \frac{1}{{99}}S}$ και $\displaystyle{B = \frac{1}{{100}}S + \frac{1}{{10000}}}$

Οπότε

$\displaystyle{A - B = \left( {\frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}} \right)S - \frac{1}{{10000}} = \frac{1}{{9900}}S - \frac{1}{{10000}} = \frac{{100S - 99}}{{990000}} = \frac{{100\left( {S - 1} \right) + 1}}{{990000}} > 0}$

Άρα $\displaystyle{A>B}$

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:2. Σε ένα δοχείο υπάρχουν $\displaystyle{6}$ λευκά, $\displaystyle{9}$ κίτρινα, $\displaystyle{12}$ κόκκινα και $\displaystyle{15}$ πράσινα σφαιρίδια. Να προσδιοριστεί ο ελάχιστος αριθμός σφαιριδίων που πρέπει να πάρουμε τυχαία έτσι ώστε να εξασφαλιστεί η παρουσία στο δείγμα τουλάχιστον
α) $\displaystyle{3}$ λευκών,
β) $\displaystyle{5}$ κίτρινων,
γ) $\displaystyle{6}$ κόκκινων,
δ) $\displaystyle{10}$ πράσινων σφαιριδίων
(τέσσερα διαφορετικά ερωτήματα).

Όλα τα σφαιρίδια συνολικά είναι $\displaystyle{6+9+12+15=42}$ .

α) Για να έχουμε το λιγότερο $\displaystyle{3}$ λευκά, σκεφτόμαστε το χειρότερο δυνατό σενάριο, να έχουμε τραβήξει όλα τα υπόλοιπα σφαιρίδια και να μην έχουν βγει ακόμα $\displaystyle{3}$ λευκά, όποτε ο ελάχιστος αριθμός είναι τα $\displaystyle{3}$ που θέλουμε συν όλα τα υπόλοιπα σφαιρίδια οπότε $\displaystyle{3+(42-6)=3+36=39}$ .

β) Ομοίως ο ελάχιστος αριθμός είναι $\displaystyle{5+(42-9)=5+33=38}$ σφαιρίδια.
γ) Ομοίως ο ελάχιστος αριθμός είναι $\displaystyle{6+(42-12)=6+30=36}$ σφαιρίδια.
δ) Ομοίως ο ελάχιστος αριθμός είναι $\displaystyle{10+(42-15)=10+27=37}$ σφαιρίδια.

apotin · #6

3. Δέκα σημεία είναι τοποθετημένα σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου όπως στο σχήμα. Να διαγραφεί ο ελάχιστος αριθμός σημείων έτσι ώστε τα υπόλοιπα να μη σχηματίζουν κανένα ισόπλευρο τρίγωνο.

: 123.png (2.56 KiB) Προβλήθηκε 2157 φορές

Διαγράφοντας τα κόκκινα σημεία νομίζω πως έχουμε λύση.

Παναγιώτης Χ. · #7

apotin έγραψε:3. Δέκα σημεία είναι τοποθετημένα σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου όπως στο σχήμα. Να διαγραφεί ο ελάχιστος αριθμός σημείων έτσι ώστε τα υπόλοιπα να μη σχηματίζουν κανένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Διαγράφοντας τα κόκκινα σημεία νομίζω πως έχουμε λύση.

Πώς δικαιολογείται αυτή η λύση;

apotin · #8

Παναγιώτης Χ. έγραψε:
apotin έγραψε:3. Δέκα σημεία είναι τοποθετημένα σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου όπως στο σχήμα. Να διαγραφεί ο ελάχιστος αριθμός σημείων έτσι ώστε τα υπόλοιπα να μη σχηματίζουν κανένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Διαγράφοντας τα κόκκινα σημεία νομίζω πως έχουμε λύση.
Πώς δικαιολογείται αυτή η λύση;

Δεν νομίζω οι εξεταστές, σ' αυτό το πρόβλημα, να θέλανε κάποια αιτιολόγηση

#9

parmenides51 έγραψε: Δευ Νοέμ 19, 2012 7:16 am 3. Δέκα σημεία είναι τοποθετημένα σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου όπως στο σχήμα. Να διαγραφεί ο ελάχιστος αριθμός σημείων έτσι ώστε τα υπόλοιπα να μη σχηματίζουν κανένα ισόπλευρο τρίγωνο.
Eykleidhs 2005 3o.png

Ας δούμε και μια αυστηρή απόδειξη, για το γιατί το 4 είναι το ελάχιστο!

#10

socrates έγραψε: Δευ Νοέμ 04, 2024 12:15 pm
parmenides51 έγραψε: Δευ Νοέμ 19, 2012 7:16 am 3. Δέκα σημεία είναι τοποθετημένα σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου όπως στο σχήμα. Να διαγραφεί ο ελάχιστος αριθμός σημείων έτσι ώστε τα υπόλοιπα να μη σχηματίζουν κανένα ισόπλευρο τρίγωνο.
Eykleidhs 2005 3o.png
Ας δούμε και μια αυστηρή απόδειξη, για το γιατί το 4 είναι το ελάχιστο!

Θα δείξουμε ότι αν διώξουμε

(ή λιγότερα) σημεία, πάντα θα μείνει ισόπλευρο τρίγωνο. Έστω λοιπόν ότι διώχνουμε

σημεία.

Κοιτάμε τα τρία ισόπλευρα τρίγωνα με κορυφές 1-1-1

ή

. Εφόσον θέλουμε να μην υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο, πρέπει από καθένα από τα τρίγωνα αυτά να διώξουμε από μία κορυφή. Άρα στο καθένα μένουν οι άλλες δύο κορυφές (γιατί εξαντλήσαμε τις τρεις κορυφές που μπορούμε να διώξουμε). Επίσης, από τα τρίγωνα αυτά πρέπει να φύγει μία από τις κόκκινες κορυφές, αλλιώς θα είχαμε το ισόπλευρο ${\color {red}1-2-3}$ με τις κόκκινες κορυφές.
Έστω λοιπόν, χωρίς βλάβη, ότι διώξαμε την κόκκινη κορυφή ${\color {red}1}$ . Τότε μένουν οι άλλες δύο κορυφές 1-1

του τριγώνου 1-1-1

(οι γαλάζιες). Τότε όμως έχουμε το ισόπλευρο τρίγωνο K-1-1

, και ο συλλογισμός ολοκληρώθηκε. Συγκεκριμένα, δείξαμε ότι πρέπει να διώξουμε

ή παραπάνω κορυφές. Με

καταφέρνουμε το ζητούμενο (βλέπε ποστ #

) οπότε το ελάχιστο είναι το

.
.

#11

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση