2 'Ορια

Theoxaris Malamidis · #1

Αν

και

ανήκουν στο σύνολο των φυσικών αριθμών
τότε να υπολογίσετε το : $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{ax^{n}+bx^{m}+c}{x-1}$

Αν

ανήκει $N^{*}$ , να υπολογίσετε το $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^{n}-1-n(x-1)}{(x-1)^{2}}$

Edit από Γενικούς Συντονιστές: διόρθωση του κώδικα LATEX.
Θεοχάρη, παρακαλώ δες πώς γράφεται τι \lim και δεs τι είναι το \displaystyle

Theoxaris Malamidis · #2

Επαναφορά..

#3

Theoxaris Malamidis έγραψε:Αν και ανήκουν στο σύνολο των φυσικών αριθμών
τότε να υπολογίσετε το : $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{ax^{n}+bx^{m}+c}{x-1}$

Αν ανήκει $N^{*}$ , να υπολογίσετε το $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^{n}-1-n(x-1)}{(x-1)^{2}}$

Τα όρια είναι περίπτωση $\frac{0}{0}$ και βγαίνουν εύκολα με l' Hospital. Πρόκειται για χιλιοειπωμένο τύπο ασκήσεων.

α) $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{ax^{n}+bx^{m}+c}{x-1} =\lim_{x\to 1} \frac{anx^{n-1}+bmx^{m=1}}{1} =an+bm$ . (Οι περιπτώσεις m=0

ή

πρέπει να γίνουν χωριστά, αλλά δεν παρουσιάζουν δυσκολία.

b) Με δύο l' Hοspital είναι $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^{n}-1-n(x-1)}{(x-1)^{2}}= \lim_{x\to1}\frac{nx^{n-1}-n}{2(x-1)}=\lim_{x\to1}\frac{n(n-1)x^{n-2}}{2} = \frac {1}{2} n(n-1)$ (χωριστά για το n=1

- απλό).

M.

Ιστοσελίδα · #4

Για ΕΠΑΛ αυτές οι ασκήσεις το βλέπω χλωμό!!!
Τέλος πάντων : $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{ax^{n}+bx^{m}+c}{x-1} = \lim_{x\to 1} \frac{ax^{n}+bx^{m}-a-b}{x-1} =\lim_{x\to 1} \frac{a(x^{n}-1)+b(x^{m}-1)}{x-1} =\lim_{x\to 1} {a(x^{n-1}+x^{n-2} + \cdots + 1)+b(x^{m-1}+\cdots +1)} = na + mb$

ΓΙα το δεύτερο :
$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^{n}-1-n(x-1)}{(x-1)^{2}}= \lim_{x\to1}\frac{(x-1)\left( x^{n-1}+x^{n-2} + \cdots +1-n\right)}{(x-1)^{2}} = \lim_{x\to1}\frac{ x^{n-1}-1 +x^{n-2} -1 + \cdots +1- 1 }{(x-1) }$
$=\frac {1}{2} n(n-1)$

#5

Theoxaris Malamidis έγραψε:Αν και ανήκουν στο σύνολο των φυσικών αριθμών
τότε να υπολογίσετε το : $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{ax^{n}+bx^{m}+c}{x-1}$

Αν ανήκει $N^{*}$ , να υπολογίσετε το $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^{n}-1-n(x-1)}{(x-1)^{2}}$

Δεν είχα προσέξει ότι ο φάκελος είναι για τα ΕΠΑΛ, όπου ο κανόνας l' Hospital είναι εκτός ύλης.

Βέβαια η λύση του Σωτήρη το έλαβε αυτό υπ' όψη, αλλά για να ... εξιλεωθώ δίνω και άλλη μία χωρίς l' Hospital. Δεν ισχυρίζομαι ότι θα τα διδάσκαμε έτσι στο ΕΠΑΛ, αλλά λέμε τώρα.

α) Εξετάζουμε την f(x) = ax^n + bx^m

που είναι βέβαια παραγωγίσιμη με $f'(x) = anx^{n-1}+bmx^{m-1}$ , οπότε f'(1) = an+bm

. Έτσι από τον ορισμό της παραγώγου έχουμε

$\displaystyle{ an+bm = f'(1)= \lim _{x\to 1} \frac {f(x)-f(1)}{x-1}= \lim _{x\to 1} \frac {ax^n+bx^m-a-b}{x-1}=\lim _{x\to 1} \frac {ax^n+bx^m+c}{x-1}}$ , που είναι αυτό που ψάχνουμε.

β) Ψάχνουμε το όριο στο

της $\displaystyle{\frac{x^{n}-1-n(x-1)}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{n-1}+ ... \, +1- n}{x-1} }$ .

Θέτουμε $\displaystyle{g(x) = x^{n-1} +...\,x+1}$ οπότε $g'(1) = (n-1) + ... \, +1 = \frac {1}{2}n(n-1)$ . Άρα

$\displaystyle{\frac {1}{2}n(n-1)= g'(1) = \lim _{x\to 1} \frac {g(x)-g(1)}{x-1}=\lim _{x\to 1} \frac {x^{n-1}+ ... \, +1- n}{x-1} =}$ το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης

Ιστοσελίδα · #6

Μιχάλη, γενικώς δεν είναι για ΕΠΑΛ αυτή η άσκηση...

Ωραίες οι λύσεις σου.

2 'Ορια

2 'Ορια

Re: 2 'Ορια

Re: 2 'Ορια

Re: 2 'Ορια

Re: 2 'Ορια

Re: 2 'Ορια

Μέλη σε σύνδεση