ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Έστω ότι οι ακέραιοι $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\alpha + 2}$ είναι πρώτοι με $\displaystyle{\alpha > 3}$ . Να δειχτεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\alpha + 4}$ είναι σύνθετος.

2. Οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ είναι θετικοί και ισχύει $\displaystyle{\alpha + \beta = \lambda}$ .
Να δειχτεί ότι $\displaystyle{\frac{4}{3\lambda }\le \frac{1}{\alpha +\lambda } + \frac{1}{\beta +\lambda } < \frac{3}{2\lambda }}$ .

3. Δίνεται σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Πόσα σημεία $\displaystyle{\Delta}$ υπάρχουν στο επίπεδo του τριγώνου τέτοια ώστε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία $\displaystyle{A, B, \Gamma, \Delta}$ να έχει άξονα συμμετρίας διαφορετικό από πλευρά του τριγώνου;

4. Έστω $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ δύο μη κενά και ξένα μεταξύ τους σύνολα των οποίων η ένωση είναι το σύνολο $\displaystyle{\Sigma= \{ 1, 2, 3, 4, 5\}}$ . Να αποδειχτεί ότι ένα τουλάχιστον από τα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ περιέχει τουλάχιστον τη διαφορά δύο στοιχείων του.

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:4. Έστω $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ δύο μη κενά και ξένα μεταξύ τους σύνολα των οποίων η ένωση είναι το σύνολο $\displaystyle{\Sigma= \{ 1, 2, 3, 4, 5\}}$ . Να αποδειχτεί ότι ένα τουλάχιστον από τα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ περιέχει τουλάχιστον τη διαφορά δύο στοιχείων του.

μια παρόμοια

Υ.Γ. Για να μην ψάχνετε ποια θέματα Ευκλείδη παραμένουν άλυτα δείτε την δημοσίευση άλυτες από ΕΜΟ + Ευκλείδη ανά είδος
που ανανεώνεται αρκετές φορές κάθε μέρα

#3

parmenides51 έγραψε:1. Έστω ότι οι ακέραιοι $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\alpha + 2}$ είναι πρώτοι με $\displaystyle{\alpha > 3}$ . Να δειχτεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\alpha + 4}$ είναι σύνθετος.

Οι πρώτοι μεγαλύτεροι του

(και άρα περιττοί) είναι της μορφής $6k+1, \, 6k+5$ αφού αυτοί που μένουν, δηλαδή οι 6k+3

, είναι σύνθετοι ως πολλαπλάσια του

.
Αν $a, \, a+2$ πρώτοι, αποκλείεται a=6k+1

γιατί τότε a+2=6k+3=

σύνθετος. Άρα a=6k+5

, οπότε

σύνθετος.

Μ.

#4

parmenides51 έγραψε:1. Έστω ότι οι ακέραιοι $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\alpha + 2}$ είναι πρώτοι με $\displaystyle{\alpha > 3}$ . Να δειχτεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\alpha + 4}$ είναι σύνθετος.

Λίγο διαφορετικά:

Οι ακέραιοι $\displaystyle{a,a+1,a+2}$ είναι διαδοχικοί, οπότε κάποιος εξ αυτών θα είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3.}$
Επειδή οι $\displaystyle{a,a+2}$ είναι πρώτοι και $\displaystyle{a>3}$ , θα είναι ο $\displaystyle{a+1}$ πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$ , άρα και ο $\displaystyle{a+4=a+1+3,}$
οπότε είναι σύνθετος.

perpant · #5

parmenides51 έγραψε: 2. Οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ είναι θετικοί και ισχύει $\displaystyle{\alpha + \beta = \lambda}$ .
Να δειχτεί ότι $\displaystyle{\frac{4}{3\lambda }\le \frac{1}{\alpha +\lambda } + \frac{1}{\beta +\lambda } < \frac{3}{2\lambda }}$ .

$\displaystyle{ \frac{4}{{3\lambda }} \le \frac{1}{{\alpha + \lambda }} + \frac{1}{{\beta + \lambda }} < \frac{3}{{2\lambda }} \Leftrightarrow \frac{4}{{3\lambda }} \le \frac{{\beta + \lambda + \alpha + \lambda }}{{\left( {\alpha + \lambda } \right)\left( {\beta + \lambda } \right)}} < \frac{3}{{2\lambda }} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \frac{4}{{3\lambda }} \le \frac{{\alpha + \beta + 2\lambda }}{{\alpha \beta + \alpha \lambda + \beta \lambda + \lambda ^2 }} < \frac{3}{{2\lambda }} \Leftrightarrow \frac{4}{{3\lambda }} \le \frac{{3\lambda }}{{\alpha \beta + \left( {\alpha + \beta } \right)\lambda + \lambda ^2 }} < \frac{3}{{2\lambda }} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \frac{4}{{3\lambda }} \le \frac{{3\lambda }}{{\alpha \beta + 2\lambda ^2 }} < \frac{3}{{2\lambda }} }$

Για την αριστερή ανισότητα έχουμε: $\displaystyle{ \frac{4}{{3\lambda }} \le \frac{{3\lambda }}{{\alpha \beta + 2\lambda ^2 }}\mathop \Leftrightarrow \limits_{\alpha \beta > 0}^{\lambda > 0} 4\alpha \beta + 8\lambda ^2 \le 9\lambda ^2 \Leftrightarrow \lambda ^2 \ge 4\alpha \beta \Leftrightarrow \left( {\alpha + \beta } \right)^2 \ge 4\alpha \beta \Leftrightarrow \left( {\alpha - \beta } \right)^2 \ge 0 }$
που ισχύει
Για τη δεξιά ανισότητα έχουμε: $\displaystyle{ \frac{{3\lambda }}{{\alpha \beta + 2\lambda ^2 }} < \frac{3}{{2\lambda }} \Leftrightarrow \frac{\lambda }{{\alpha \beta + 2\lambda ^2 }} < \frac{1}{{2\lambda }}\mathop \Leftrightarrow \limits_{\alpha \beta > 0}^{\lambda > 0} 2\lambda ^2 < \alpha \beta + 2\lambda ^2 \Leftrightarrow \alpha \beta > 0 }$ που ισχύει

parmenides51 · #6

Όταν δεν ξέρουμε τι να κάνουμε και έχουμε λίγα στοιχεία, διακρίνουμε περιπτώσεις. Καλύτερα να είναι μεγάλη σε έκταση η λύση παρά να μένει άλυτη.

parmenides51 έγραψε:4. Έστω $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ δύο μη κενά και ξένα μεταξύ τους σύνολα των οποίων η ένωση είναι το σύνολο $\displaystyle{\Sigma= \{ 1, 2, 3, 4, 5\}}$ . Να αποδειχτεί ότι ένα τουλάχιστον από τα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ περιέχει τουλάχιστον τη διαφορά δύο στοιχείων του.

Διακρίνουμε περιπτώσεις για τα σύνολα και ελέγχουμε εαν ικανοποιείται η συνθήκη με τη διαφορά των στοιχείων του.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ότι το σύνολο με τα λιγότερα στοιχεία είναι το $\displaystyle{A}$ .

Αφού τα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ δύο μη κενά και ξένα μεταξύ τους σύνολα με $\displaystyle{A\cup B=\Sigma= \{ 1, 2, 3, 4, 5\}}$ έχουμε :

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{A=\{1\}}$ και $\displaystyle{B=\{2,3,4,5\}}$ τότε $\displaystyle{5-3=2 \in B}$ με $\displaystyle{5,3 \in B}$ $\displaystyle{\boxed{\checkmark}}$
$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{A=\{2\}}$ και $\displaystyle{B=\{1,3,4,5\}}$ τότε $\displaystyle{5-3=2 \in B}$ με $\displaystyle{5,3 \in B}$ $\displaystyle{\boxed{\checkmark}}$
$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{A=\{3\}}$ και $\displaystyle{B=\{1,2,3,4\}}$ τότε $\displaystyle{4-3=1 \in B}$ με $\displaystyle{4,3 \in B}$ $\displaystyle{\boxed{\checkmark}}$
$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{A=\{4\}}$ και $\displaystyle{B=\{1,2,3,5\}}$ τότε $\displaystyle{5-3=2 \in B}$ με $\displaystyle{5,3 \in B}$ $\displaystyle{\boxed{\checkmark}}$
$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{A=\{5\}}$ και $\displaystyle{B=\{1,2,3,4\}}$ τότε $\displaystyle{4-3=1 \in B}$ με $\displaystyle{4,3 \in B}$ $\displaystyle{\boxed{\checkmark}}$
$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{A=\{1,2\}}$ και $\displaystyle{B=\{3,4,5\}}$ τότε $\displaystyle{2-1=1 \in A}$ με $\displaystyle{2,1 \in A}$ $\displaystyle{\boxed{\checkmark}}$
$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{A=\{1,3\}}$ και $\displaystyle{B=\{2,4,5\}}$ τότε $\displaystyle{4-2=2 \in B}$ με $\displaystyle{4,2 \in B}$ $\displaystyle{\boxed{\checkmark}}$
$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{A=\{1,4\}}$ και $\displaystyle{B=\{2,3,5\}}$ τότε $\displaystyle{5-3=2 \in B}$ με $\displaystyle{5,3 \in B}$ $\displaystyle{\boxed{\checkmark}}$
$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{A=\{1,5\}}$ και $\displaystyle{B=\{2,3,4\}}$ τότε $\displaystyle{4-2=2 \in B}$ με $\displaystyle{4,2 \in B}$ $\displaystyle{\boxed{\checkmark}}$
$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{A=\{2,3\}}$ και $\displaystyle{B=\{1,4,5\}}$ τότε $\displaystyle{5-4=1 \in B}$ με $\displaystyle{5,4 \in B}$ $\displaystyle{\boxed{\checkmark}}$
$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{A=\{2,4\}}$ και $\displaystyle{B=\{1,3,5\}}$ τότε $\displaystyle{4-2=2 \in A}$ με $\displaystyle{4,2 \in A}$ $\displaystyle{\boxed{\checkmark}}$
$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{A=\{2,5\}}$ και $\displaystyle{B=\{1,3,4\}}$ τότε $\displaystyle{4-3=1 \in B}$ με $\displaystyle{4,3 \in B}$ $\displaystyle{\boxed{\checkmark}}$
$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{A=\{3,4\}}$ και $\displaystyle{B=\{1,2,5\}}$ τότε $\displaystyle{2-1=1 \in B}$ με $\displaystyle{2,1 \in B}$ $\displaystyle{\boxed{\checkmark}}$
$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{A=\{3,5\}}$ και $\displaystyle{B=\{1,2,4\}}$ τότε $\displaystyle{2-1=1 \in B}$ με $\displaystyle{2,1 \in B}$ $\displaystyle{\boxed{\checkmark}}$

Οπότε σε κάθε περίπτωση ένα τουλάχιστον από τα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ περιέχει τουλάχιστον τη διαφορά δύο στοιχείων του.

#7

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Πόσα σημεία $\displaystyle{\Delta}$ υπάρχουν στο επίπεδo του τριγώνου τέτοια ώστε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία $\displaystyle{A, B, \Gamma, \Delta}$ να έχει άξονα συμμετρίας διαφορετικό από πλευρά του τριγώνου;

Tο τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία $\displaystyle{A , B , \Gamma , \Delta}$ , δεν μπορεί να είναι τετράγωνο ούτε γενικά ρόμβος, αφού δίνεται ότι το τρίγωνο είναι σκαληνό. Ένα τέτοιο λοιπόν τετράπλευρο, για να έχει άξονα συμμετρίας, θα πρέπει να είναι ισοσκελές τραπέζιο. Άρα το σημείο $\Delta$ , μπορεί να πάρει τρεις θέσεις στο επίπεδο του τριγώνου για να δημιουργηθούν με τις άλλες κορυφές τα ισοσκελή τραπέζια $AB\Delta \Gamma$ ,με $AB=\Gamma \Delta$ , και βάσεις $A\Gamma , B\Delta$ , το $AB\Gamma \Delta$ , με $AB= \Gamma \Delta$ και βάσεις $B\Gamma , A\Delta$ και τέλος, το $AB\Gamma \Delta$ , με $B\Gamma =A\Delta$ και βάσεις $AB , \Gamma \Delta$ .
Καθένα από αυτά τα τρία ισοσκελή τραπέζια, θα έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία που ενώνει τα μέσα των βάσεών του.

parmenides51 · #8

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Πόσα σημεία $\displaystyle{\Delta}$ υπάρχουν στο επίπεδo του τριγώνου τέτοια ώστε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία $\displaystyle{A, B, \Gamma, \Delta}$ να έχει άξονα συμμετρίας διαφορετικό από πλευρά του τριγώνου;

: Eykleidhs 2005 3o al.png (21.41 KiB) Προβλήθηκε 2826 φορές

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Tο τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία $\displaystyle{A , B , \Gamma , \Delta}$ , δεν μπορεί να είναι τετράγωνο ούτε γενικά ρόμβος, αφού δίνεται ότι το τρίγωνο είναι σκαληνό. Ένα τέτοιο λοιπόν τετράπλευρο, για να έχει άξονα συμμετρίας, θα πρέπει να είναι ισοσκελές τραπέζιο. Άρα το σημείο $\Delta$ , μπορεί να πάρει τρεις θέσεις στο επίπεδο του τριγώνου για να δημιουργηθούν με τις άλλες κορυφές τα ισοσκελή τραπέζια $AB\Delta \Gamma$ ,με $AB=\Gamma \Delta$ , και βάσεις $A\Gamma , B\Delta$ , το $AB\Gamma \Delta$ , με $AB= \Gamma \Delta$ και βάσεις $B\Gamma , A\Delta$ και τέλος, το $AB\Gamma \Delta$ , με $B\Gamma =A\Delta$ και βάσεις $AB , \Gamma \Delta$ .
Καθένα από αυτά τα τρία ισοσκελή τραπέζια, θα έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία που ενώνει τα μέσα των βάσεών του.

Orestisss · #9

parmenides51 έγραψε: Δευ Νοέμ 19, 2012 5:57 pm 1. Έστω ότι οι ακέραιοι $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\alpha + 2}$ είναι πρώτοι με $\displaystyle{\alpha > 3}$ . Να δειχτεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\alpha + 4}$ είναι σύνθετος.

Αν ο

ηταν πρώτος, με πρωτο a>3

,
τότε θα υπηρχε ακέραιος n>1

τέτοιος ώστε n<a+4<2n

Ακόμη θα ηταν: $a>3\Leftrightarrow a+4>7$ $\Rightarrow$
$1<n\leq 7$ . Διακρίνω τις περιπτώσεις για κάθε ακέραιο

. Για $n=2\Rightarrow 2<a+4<4\Rightarrow -2<a<0$ άτοπο. Για $n=3\Rightarrow 3<a+4<6\Rightarrow -1<a<2$ άτοπο. …….
Κάθε περιπτωση καταλήγει σε άτοπο συνεπώς ο a+4

δεν μπορεί να είναι πρώτος για τις δεδομένες συνθήκες του

Αποσυρω την παραπάνω λυση ως εσφαλμένη.

#10

Orestisss έγραψε: Τετ Ιούλ 17, 2024 3:20 pm
... θα υπηρχε ακέραιος τέτοιος ώστε

...
$\Rightarrow$ $1<n\leq 7$ .

Tο βήμα αυτό είναι πάρα πολύ λάθος. Προσπάθησε να ξεκαθαρίσεις στο μυαλό σου ποιο ακριβώς είναι το λάθος, και πες μας το εδώ για να δούμε αν το κατανόησες.

Orestisss · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Ιούλ 17, 2024 4:19 pm
Orestisss έγραψε: Τετ Ιούλ 17, 2024 3:20 pm
... θα υπηρχε ακέραιος τέτοιος ώστε

...
$\Rightarrow$ $1<n\leq 7$ .
Tο βήμα αυτό είναι πάρα πολύ λάθος. Προσπάθησε να ξεκαθαρίσεις στο μυαλό σου ποιο ακριβώς είναι το λάθος, και πες μας το εδώ για να δούμε αν το κατανόησες.

Η υπόθεση για την ανισότητα n<a+4<2n

προκύπτει από το αξίωμα του Bertrand. Ακριβέστερα, το θεώρημα αυτό λεει πως
$\forall n>1\in\mathbb{Z},\exists$ τουλάχιστον ένας πρώτος

για τον οποίο ισχυει n<p<2n

.
Τώρα που το ξανά κοιταξα, υποθέτω πως το λάθος βρίσκεται στο ότι υπέθεσα ότι ο πρώτος a+4

θα έπρεπε υποχρεωτικά να ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη, που είναι λάθος καθώς υπάρχει τουλάχιστον ένας πρωτος που την ικανοποιεί και θα μπορουσε να μην είναι αυτός. Για να επιβεβαιώσω αυτήν την επιφύλαξη που είχα έκανα την δημοσίευση, και σας Ευχαριστω που με διορθώσατε.

#12

Orestisss έγραψε: Τετ Ιούλ 17, 2024 4:34 pm Η υπόθεση για την ανισότητα προκύπτει από το αξίωμα του Bertrand. Ακριβέστερα, το θεώρημα αυτό λεει πως
$\forall n>1\in\mathbb{Z},\exists$ τουλάχιστον ένας πρώτος για τον οποίο ισχυει .
Τώρα που το ξανά κοιταξα, υποθέτω πως το λάθος βρίσκεται στο ότι υπέθεσα ότι ο πρώτος θα έπρεπε υποχρεωτικά να ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη, που είναι λάθος καθώς υπάρχει τουλάχιστον ένας πρωτος που την ικανοποιεί και θα μπορουσε να μην είναι αυτός. Για να επιβεβαιώσω αυτήν την επιφύλαξη που είχα έκανα την δημοσίευση, και σας Ευχαριστω που με διορθώσατε.

Κάνεις πανδύσκολα αυτά που είναι πανεύκολα.

Πρώτον δεν έχεις απαντήσει πού είναι το σοβαρό λάθος σε αυτό που σημείωσα. Ξαναδές σε παρακαλώ τι έχω επισημάνει, και άσε τα άλλα.

Όσο για τα άλλα, είναι παράδειγμα όπου μπλέκεις τα πράγματα χωρίς λόγο. Για παράδειγμα το συμπέρασμα που γράφεις παραπάνω (αυτό που σημείωσα με κόκκινο) είναι άσχετο με το Aξίωμα Bertrand. Συγκεκριμένα, αν πάρουμε n=a+3

τότε ο παραπάνω ισχυρισμός ικανοποιείται ΑΥΤΟΜΑΤΑ (είτε είναι πρώτος ο a+4

είτε όχι) δεδομένου ότι απλά λέει το ΠΡΟΦΑΝΕΣ a+3 < a+4 < 2a+6

, που ισχύει ΠΑΝΤΑ. Χωρίς επίκληση του Bertrand.

Tέλος, τo Αξίωμα Bertrand δεν λέει αυτό που ισχυρίζεσαι αλλά είναι ένα μερικό αντίστροφό του.

Επειδή η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές Α' Λυκείου και είναι αρκετά εύκολη, θα σου συνιστούσα να προσπαθήσεις να βρεις λύση με ύλη Α' Λυκείου. Μην μπαίνεις σε χωράφια που είναι πολύ έξω από τις γνώσεις που οφείλει να έχει ένας μαθητής της Α' Λυκείου.

Orestisss · #13

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Ιούλ 17, 2024 5:25 pm
Orestisss έγραψε: Τετ Ιούλ 17, 2024 4:34 pm Η υπόθεση για την ανισότητα προκύπτει από το αξίωμα του Bertrand. Ακριβέστερα, το θεώρημα αυτό λεει πως
$\forall n>1\in\mathbb{Z},\exists$ τουλάχιστον ένας πρώτος για τον οποίο ισχυει .
Τώρα που το ξανά κοιταξα, υποθέτω πως το λάθος βρίσκεται στο ότι υπέθεσα ότι ο πρώτος θα έπρεπε υποχρεωτικά να ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη, που είναι λάθος καθώς υπάρχει τουλάχιστον ένας πρωτος που την ικανοποιεί και θα μπορουσε να μην είναι αυτός. Για να επιβεβαιώσω αυτήν την επιφύλαξη που είχα έκανα την δημοσίευση, και σας Ευχαριστω που με διορθώσατε.
Κάνεις πανδύσκολα αυτά που είναι πανεύκολα.

Πρώτον δεν έχεις απαντήσει πού είναι το σοβαρό λάθος σε αυτό που σημείωσα. Ξαναδές σε παρακαλώ τι έχω επισημάνει, και άσε τα άλλα.

Όσο για τα άλλα, είναι παράδειγμα όπου μπλέκεις τα πράγματα χωρίς λόγο. Για παράδειγμα το συμπέρασμα που γράφεις παραπάνω (αυτό που σημείωσα με κόκκινο) είναι άσχετο με το Aξίωμα Bertrand. Συγκεκριμένα, αν πάρουμε τότε ο παραπάνω ισχυρισμός ικανοποιείται ΑΥΤΟΜΑΤΑ (είτε είναι πρώτος ο είτε όχι) δεδομένου ότι απλά λέει το ΠΡΟΦΑΝΕΣ , που ισχύει ΠΑΝΤΑ. Χωρίς επίκληση του Bertrand.

Tέλος, τo Αξίωμα Bertrand δεν λέει αυτό που ισχυρίζεσαι αλλά είναι ένα μερικό αντίστροφό του.

Επειδή η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές Α' Λυκείου και είναι αρκετά εύκολη, θα σου συνιστούσα να προσπαθήσεις να βρεις λύση με ύλη Α' Λυκείου. Μην μπαίνεις σε χωράφια που είναι πολύ έξω από τις γνώσεις που οφείλει να έχει ένας μαθητής της Α' Λυκείου.

Καταλαβα. Απλώς σκέφτηκα πως θα μπορούσα να χρησιμοποιήσω το αξίωμα. Ευχαριστω για τη διόρθωση.

#14

Orestisss έγραψε: Τετ Ιούλ 17, 2024 5:29 pm Καταλαβα. Απλώς σκέφτηκα πως θα μπορούσα να χρησιμοποιήσω το αξίωμα. Ευχαριστω για τη διόρθωση.

Κανένα πρόβλημα. Όμως η ερώτησή μου στο ποστ #10 παραμένει, και θα χαρούμε να δούμε αν κατάλαβες που είναι το σφάλμα. Επικεντρώσου εκεί, και άσε τα άλλα.

Orestisss · #15

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Ιούλ 17, 2024 5:35 pm
Orestisss έγραψε: Τετ Ιούλ 17, 2024 5:29 pm Καταλαβα. Απλώς σκέφτηκα πως θα μπορούσα να χρησιμοποιήσω το αξίωμα. Ευχαριστω για τη διόρθωση.
Κανένα πρόβλημα. Όμως η ερώτησή μου στο ποστ #10 παραμένει, και θα χαρούμε να δούμε αν κατάλαβες που είναι το σφάλμα. Επικεντρώσου εκεί, και άσε τα άλλα.

Υποθέτω τότε πως το σφάλμα βρίσκεται στη συνεπαγωγή
a+4>7

$\Rightarrow$ $1<n\leq 7$ . Εδώ σκέφτηκα πως αφού n<a+4

, το

είτε θα μπορουσε να ταυτίζεται με το

είτε να είναι μικρότερο αλλά προφανώς μεγαλύτερο του

από υπόθεση. Ξανά Ευχαριστω για την κατανόηση.

#16

Orestisss έγραψε: Τετ Ιούλ 17, 2024 6:48 pm Υποθέτω τότε πως το σφάλμα βρίσκεται στη συνεπαγωγή
$\Rightarrow$ $1<n\leq 7$ . Εδώ σκέφτηκα πως αφού
, το είτε θα μπορουσε να ταυτίζεται με το είτε να είναι μικρότερο αλλά προφανώς μεγαλύτερο του από υπόθεση. Ξανά Ευχαριστω για την κατανόηση.

'Οχι. Η εξήγησή σου δεν είναι σαφής. Απλά μας επαναλαμβάνεις τον λάθος συλλογισμό σου. Το θέμα όμως είναι να μας πεις ΓΙΑΤΙ είναι λάθος αυτός ο συλλογισμός.

Εάν θα απαντήσεις (που το εύχομαι), σου συνιστώ να είναι μετά από πολύ σκέψη και να έχεις απόλυτη την πεποίθηση ότι αυτό που γράφεις είναι τελείως σωστό. Το επισημαίνω γιατί μέχρι τώρα δεν ακολούθησες αυτόν τον δρόμο.

Orestisss · #17

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Ιούλ 17, 2024 8:25 pm
Orestisss έγραψε: Τετ Ιούλ 17, 2024 6:48 pm Υποθέτω τότε πως το σφάλμα βρίσκεται στη συνεπαγωγή
$\Rightarrow$ $1<n\leq 7$ . Εδώ σκέφτηκα πως αφού
, το είτε θα μπορουσε να ταυτίζεται με το είτε να είναι μικρότερο αλλά προφανώς μεγαλύτερο του από υπόθεση. Ξανά Ευχαριστω για την κατανόηση.
'Οχι. Η εξήγησή σου δεν είναι σαφής. Απλά μας επαναλαμβάνεις τον λάθος συλλογισμό σου. Το θέμα όμως είναι να μας πεις ΓΙΑΤΙ είναι λάθος αυτός ο συλλογισμός.

Εάν θα απαντήσεις (που το εύχομαι), σου συνιστώ να είναι μετά από πολύ σκέψη και να έχεις απόλυτη την πεποίθηση ότι αυτό που γράφεις είναι τελείως σωστό. Το επισημαίνω γιατί μέχρι τώρα δεν ακολούθησες αυτόν τον δρόμο.

Ξανασκέφτηκα, πιο σιγουρος αυτή τη φορά, και λέω πως ο ισχυρισμός n<7

δεν είναι αληθής, καθώς με την ίδια λογική θα μπορουσε 7<n

. Ελπίζω η απάντηση μου να ολοκληρώνει αυτό το θέμα αλλιώς δεν ξέρω.. Ευχαριστω πολύ ξανά για την βοήθεια Κε Μιχάλη!

#18

Orestisss έγραψε: Τετ Ιούλ 17, 2024 10:04 pm
Ξανασκέφτηκα, πιο σιγουρος αυτή τη φορά, και λέω πως ο ισχυρισμός δεν είναι αληθής, καθώς με την ίδια λογική θα μπορουσε .

Σωστά. Με λίγα λόγια, αν δύο αριθμοί $p,\,q$ είναι και οι δύο μικρότεροι κάποιου

, δεν έχουμε καμία πληροφορία για την μεταξύ τους σύγκριση.

Θα σε παρακαλέσω να πας πίσω στο ποστ #9 και να σημειώσεις εκεί ότι αποσύρεις την απάντηση ως εσφαλμένη.

Το να γράψουμε μία λάθος απάντηση δεν είναι μεμπτό. Αυτό που είναι μεμπτό είναι να ξέρουμε ότι η απάντηση είναι λάθος και να μην το επισημάνουμε. Σε αυτή την περίπτωση ένας μελλοντικός αναγνώστης μπορεί να διαβάσει την λάθος απάντηση και να νομίσει ότι είναι σωστή. Αν είναι μαθητής, μάλλον θα του κάνουμε ζημιά αφού θα του δώσουμε λάθος πληροφορία.

Orestisss · #19

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Ιούλ 17, 2024 10:26 pm
Orestisss έγραψε: Τετ Ιούλ 17, 2024 10:04 pm
Ξανασκέφτηκα, πιο σιγουρος αυτή τη φορά, και λέω πως ο ισχυρισμός δεν είναι αληθής, καθώς με την ίδια λογική θα μπορουσε .
Σωστά. Με λίγα λόγια, αν δύο αριθμοί $p,\,q$ είναι και οι δύο μικρότεροι κάποιου , δεν έχουμε καμία πληροφορία για την μεταξύ τους σύγκριση.

Θα σε παρακαλέσω να πας πίσω στο ποστ #9 και να σημειώσεις εκεί ότι αποσύρεις την απάντηση ως εσφαλμένη.

Το να γράψουμε μία λάθος απάντηση δεν είναι μεμπτό. Αυτό που είναι μεμπτό είναι να ξέρουμε ότι η απάντηση είναι λάθος και να μην το επισημάνουμε. Σε αυτή την περίπτωση ένας μελλοντικός αναγνώστης μπορεί να διαβάσει την λάθος απάντηση και να νομίσει ότι είναι σωστή. Αν είναι μαθητής, μάλλον θα του κάνουμε ζημιά αφού θα του δώσουμε λάθος πληροφορία.

Καταλαβα. Μήπως καλύτερα να σβησω την δημοσίευση;

#20

Orestisss έγραψε: Τετ Ιούλ 17, 2024 10:41 pm
Καταλαβα. Μήπως καλύτερα να σβησω την δημοσίευση;

Αν την σβήσεις τελείως τότε μένουν μετέωρες όλες οι επόμενες, οπότε ένας μελλοντικός αναγνώστης δεν θα καταλαβαίνει τον διάλογο. Προτείνω απλά να γράψεις στην αρχή της απάντησή σου την φράση: Αποσύρω την παρακάτω λύση ως εσφαλμένη.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση