ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Αν ισχύει ότι $\displaystyle{8x + 10y = 1}$ , να βρείτε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{A= 2008- 4(4x + 5y) -48x - 60y}$ .

2. Σε μία ατελή διαίρεση ενός τριψήφιου φυσικού αριθμού $\displaystyle{\alpha}$ με τον αριθμό $\displaystyle{5}$ , το πηλίκο είναι μεγαλύτερο κατά $\displaystyle{5}$ του εξαπλάσιου του υπολοίπου. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του $\displaystyle{\alpha}$ ;

3. Στο διπλανό σχήμα δίνεται το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και ευθεία $\displaystyle{\varepsilon}$ που περνάει από το $\displaystyle{C}$ παράλληλη προς την πλευρά $\displaystyle{AB}$ .
Επιπλέον, δίνεται ότι $\displaystyle{CD = CE = AB}$ . Στην προέκταση της $\displaystyle{AB}$ προς το $\displaystyle{B}$ παίρνουμε ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{BF = AB}$ .
α) Να βρεθούν τα τρίγωνα που υπάρχουν στο σχήμα και έχουν ίσο εμβαδόν. Να δικαιολογήσετε πλήρως την απάντησή σας.
β) Τι μέρος του εμβαδού του σχήματος $\displaystyle{AFED}$ είναι το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ ;

: Eykleidhs 2007 3o bg.png (5 KiB) Προβλήθηκε 1458 φορές

4. (α) Να αποδείξετε ότι κάθε εξαψήφιος θετικός ακέραιος της μορφής $\displaystyle{A = ababab}$ , όπου $\displaystyle{a,b}$ ψηφία, διαιρείται με το $\displaystyle{3}$ .
(β) Να προσδιορίσετε τους εξαψήφιους θετικούς ακέραιους της μορφής $\displaystyle{A = ababab}$ , όπου $\displaystyle{a,b}$ ψηφία, οι οποίοι διαιρούνται με το $\displaystyle{5}$ και το $\displaystyle{9}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Σε μία ατελή διαίρεση ενός τριψήφιου φυσικού αριθμού $\displaystyle{\alpha}$ με τον αριθμό $\displaystyle{5}$ , το πηλίκο είναι μεγαλύτερο κατά $\displaystyle{5}$ του εξαπλάσιου του υπολοίπου. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του $\displaystyle{\alpha}$ ;

Η ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης του $\displaystyle{ \alpha}$ με το $\displaystyle{5}$ είναι $\displaystyle{ \alpha =5 \pi + \upsilon }$ όπου $\displaystyle{\pi}$ το πηλίκο και $\displaystyle{\upsilon =0,1,2,3,4}$ το υπόλοιπο.

Επειδή η διαίρεση είναι ατελής το υπόλοιπο δεν είναι μηδέν. Ισχύει πως $\displaystyle{\pi =6 \upsilon+5}$ .

$\displaystyle{\bullet}$ Για υπόλοιπο $\displaystyle{\upsilon = 1}$ , πηλικό $\displaystyle{\pi =6 \upsilon+5=6\cdot 1+5=6+5=11}$ ,

άρα $\displaystyle{\alpha =5 \pi + \upsilon=5 \cdot 11+1=55+1=56}$ απορρίπτεται ως διψήφιος

$\displaystyle{\bullet}$ Για υπόλοιπο $\displaystyle{\upsilon = 2}$ , πηλικό $\displaystyle{\pi =6 \upsilon+5=6\cdot 2+5=12+5=17}$ ,

άρα $\displaystyle{\alpha =5 \pi + \upsilon=5 \cdot 17+2=85+2=87}$ απορρίπτεται ως διψήφιος

$\displaystyle{\bullet}$ Για υπόλοιπο $\displaystyle{\upsilon = 3}$ , πηλικό $\displaystyle{\pi =6 \upsilon+5=6\cdot 3+5=18+5=23}$ ,

άρα $\displaystyle{\alpha =5 \pi + \upsilon=5 \cdot 23+3=115+3=118}$ δεκτή λύση

$\displaystyle{\bullet}$ Για υπόλοιπο $\displaystyle{\upsilon = 4}$ , πηλικό $\displaystyle{\pi =6 \upsilon+5=6\cdot 4+5=24+5=29}$ ,

άρα $\displaystyle{\alpha =5 \pi + \upsilon=5 \cdot 29+2=145+4=149}$ δεκτή λύση

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:1. Αν ισχύει ότι $\displaystyle{8x + 10y = 1}$ , να βρείτε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{A= 2008- 4(4x + 5y) -48x - 60y}$ .

$\displaystyle{A= 2008- 4(4x + 5y) -48x - 60y}$

$\displaystyle{A= 2008- 16x -20y -48x - 60y}$

$\displaystyle{A=2008 -16x -48x -20y - 60y }$

$\displaystyle{A=2008-64x -80y}$

$\displaystyle{A=2008-8(8x + 10y )}$

$\displaystyle{A=2008-8\cdot 1}$

$\displaystyle{A=2008-8}$

$\displaystyle{A=2000}$

freyia · #4

parmenides51 έγραψε:4. (α) Να αποδείξετε ότι κάθε εξαψήφιος θετικός ακέραιος της μορφής $\displaystyle{A = ababab}$ , όπου $\displaystyle{a,b}$ ψηφία, διαιρείται με το $\displaystyle{3}$ .
(β) Να προσδιορίσετε τους εξαψήφιους θετικούς ακέραιους της μορφής $\displaystyle{A = ababab}$ , όπου $\displaystyle{a,b}$ ψηφία, οι οποίοι διαιρούνται με το $\displaystyle{5}$ και το $\displaystyle{9}$ .

Για το α)

Άμα προσθέσω τα ψηφία βρίσκω άθροισμα 3(a+b)

, που είναι πολλαπλάσιο του

και επομένως ο αριθμός

, διαιρείται με το

Για το β)

Για να διαιρείται ο

με το

, πρέπει το τελευταίο ψηφίο του να είναι το

, ή το

Θα πάρουμε επομένως δύο περιπτώσεις:

1. b=0

. Τότε

. Για να διαιρείται αυτός με το

, πρέπει το άθροισμα των ψηφίων του να είναι πολλαπλάσιο του

. Δηλαδή το

, να είναι πολλαπλάσιο του

. Επομένως, a=3 , 6 , 9

. Kαι τότε ο

είναι

2.

. Τότε

. Πρέπει επομένως το 3a+15

να είναι πολλαπλάσιο του

, δηλαδή το 3a+5

να είναι πολλαπλάσιο του

και επομένως a=1 , 4 , 7

. Τότε

pito · #5

3. Στο διπλανό σχήμα δίνεται το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και ευθεία $\displaystyle{\varepsilon}$ που περνάει από το $\displaystyle{C}$ παράλληλη προς την πλευρά $\displaystyle{AB}$ .
Επιπλέον, δίνεται ότι $\displaystyle{CD = CE = AB}$ . Στην προέκταση της $\displaystyle{AB}$ προς το $\displaystyle{B}$ παίρνουμε ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{BF = AB}$ .
α) Να βρεθούν τα τρίγωνα που υπάρχουν στο σχήμα και έχουν ίσο εμβαδόν. Να δικαιολογήσετε πλήρως την απάντησή σας.
β) Τι μέρος του εμβαδού του σχήματος $\displaystyle{AFED}$ είναι το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ ;

Τα τετράπλευρα ABCD,ABEC,BCEF,BDCF

είναι παραλληλόγραμμα καθώς είναι παραλλήλες και ίσες τα ζεύγη των απέναντι πλευρών
$AB \kappa \alpha \iota CD, AB\kappa \alpha \iota CE, BF\kappa \alpha \iota CE, BF \kappa \alpha \iota CD$ αντίστοιχα.

Για το παραλληλόγραμμο ABCD

θα είναι και BC=AD

άρα και τα ύψη AK,CG

των τριγώνων ABC,ACD

αντίστοιχα θα είναι ίσα ως κάθετες μεταξύ παραλλήλων.
Έτσι $(ABC)=\frac{1}{2}BC AK=\frac{1}{2}AD CG=(ACD)$ . Όμοια προκύπτει ότι (ABC)=(BCE)

( από το παραλληλόγαρμμο ABEC

),

( από το παραλληλόγραμμο BCEF

.
Έτσι τελικά (ABC)=(ACD)=(BCF)=(FCE)

(1)

Β) Είναι $(AFED)=(ACD)+(ABC)+(BFC)+(FCE)=4(ACD)\Leftrightarrow (ACD)=\frac{1}{4}(AFED)$

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση