Να βρεθούν-4-

#1

αυτή την άσκηση δεν ήξερα σε ποιο φάκελο να τη δώσω
τελικά τη δίνω εδώ!

ΑΣΚΗΣΗ

Αν x_1,x_2,x_3,x_4

είναι οι ρίζες του πολυωνύμου P(x)=x^4-x^2+1

,
να βρεθούν οι ακέραιοι αριθμοί

για τους οποίους ισχύει x_1^k+x_2^k+x_3^k+x_4^k=0

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Βρίσκουμε λύσεις αν λύσουμε την διτετράγωνη και μετά πάρουμε τις ν-οστές ρίζες:

$\displaystyle{\begin{array}{l} x_1 = \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{6} + i\eta \mu \frac{\pi }{6} \\ x_2 = \sigma \upsilon \nu \left( {\pi + \frac{\pi }{6}} \right) + i\eta \mu \left( {\pi + \frac{\pi }{6}} \right) = \sigma \upsilon \nu \left( {\frac{{7\pi }}{6}} \right) + i\eta \mu \left( {\frac{{7\pi }}{6}} \right) \\ x_3 = \sigma \upsilon \nu \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + i\eta \mu \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) \\ x_4 = \sigma \upsilon \nu \left( {\pi - \frac{\pi }{6}} \right) + i\eta \mu \left( {\pi - \frac{\pi }{6}} \right) = \sigma \upsilon \nu \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) + i\eta \mu \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) \\ \end{array}}$

οπότε η σχέση $\displaystyle{ x_1 ^k + x_2 ^k + x_3 ^k + x_4 ^k = 0 }$
γίνεται μετά από πράξεις:
$\displaystyle{ 2\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{{\kappa \pi }}{6}} \right) + \sigma \upsilon \nu \left( {\frac{{7\kappa \pi }}{6}} \right) + \sigma \upsilon \nu \left( {\frac{{5\kappa \pi }}{6}} \right) = 0 }$

και
$\displaystyle{ \eta \mu \left( {\frac{{7\kappa \pi }}{6}} \right) + \eta \mu \left( {\frac{{5\kappa \pi }}{6}} \right) = 0 }$
που η δεύτερη ισχύει...

Από την πρώτη σχέση παίρνουμε:
$\displaystyle{ 2\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{{\kappa \pi }}{6}} \right) + 2\sigma \upsilon \nu \left( {\kappa \pi } \right) \cdot \sigma \upsilon \nu \left( {\frac{{\kappa \pi }}{6}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{{\kappa \pi }}{6}} \right)\left[ {1 + \sigma \upsilon \nu \left( {\kappa \pi } \right)} \right] = 0 }$
και την λύνουμε κατά τα γνωστά... Αν κ: περιττός ισχύει οπότε είναι δεκτές όλες οι τιμές άρα για κ: άρτιο λύνουμε την εξίσωση: $\displaystyle{ \sigma \upsilon \nu \left( {\frac{{\kappa \pi }}{6}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{\kappa \pi }}{6} = 2\rho \pi \pm \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \kappa = 12\rho \pm 3\,,\rho \in {\rm Z} }$
που προκύπτει ότι το κ είναι περιττός άρα είναι άτοπο... (λίγο άκομψα μου βγήκε αλλά την αφήνω να την διορθώσετε)

Αυτά αν δεν βιάστηκα Φωτεινή... θα την ξαναδώ {νομίζω ότι την διόρθωσα}

#3

Πρόκειται για τις τέσσερις (εκτός του i και του-i ) από τις 6-ες ρίζες του -1. Αν ρ είναι ατή με το μικρότερο θετικό όρισμα, (π/6), οι άλλες τρείς είναι η συζυγής της, η αντίθετη της και η συζυγής της αντίθετης. Νομίζω ότι εύκολα βλέπει κανείς ότι για κ περιττό ισχύει η σχέση και για κ άρτιο δέν ισχύει.
Φιλικά
Ανδρέας

Να βρεθούν-4-

Να βρεθούν-4-

Re: Να βρεθούν-4-

Re: Να βρεθούν-4-

Μέλη σε σύνδεση