Πλήθος ριζών

#1

Για τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}}$ ισχύει $\displaystyle{f(f(x))=\frac {x^3}{3}-\frac {x^2}{2}-x+4,\ \forall x \in \Bbb{R}}$

Ποιο είναι το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=x}$ ;

#2

Η εξίσωση $\displaystyle{\frac {x^3}{3}-\frac {x^2}{2}-x+4=x, \ (*)}$ έχει μοναδική πραγματική ρίζα, έστω

(Δείτε π.χ. http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 2F2-2x%2B4)

Αν τώρα

είναι ρίζα της f(x)=x

τότε

και άρα

$\displaystyle{\frac {a^3}{3}-\frac {a^2}{2}-a+4=a,}$ δηλαδή η f(x)=x

έχει το πολύ μια ρίζα.

Είναι, επίσης,

$\displaystyle{f(f(f(x)))=f(\frac {j^3}{3}-\frac {j^2}{2}-j+4)=f(j),}$ )

και

$\displaystyle{f(f(f(j)))=\frac {f(j)^3}{3}-\frac {f(j)^2}{2}-f(j)+4,}$

οπότε

$\displaystyle{\frac {f(j)^3}{3}-\frac {f(j)^2}{2}-f(j)+4=f(j)}$

δηλαδή το f(j)

είναι ρίζα της (*),

δηλαδή

Συνεπώς μοναδική ρίζα της f(x)=x

είναι το

#3

s.kap έγραψε:Για τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}}$ ισχύει $\displaystyle{f(f(x))=\frac {x^3}{3}-\frac {x^2}{2}-x+4,\ \forall x \in \Bbb{R}}$

Ποιο είναι το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=x}$ ;

Μια επιπλέον ερώτηση:

Υπάρχει συνάρτηση που να ικανοποιεί την υπόθεση, κι αν ναι, τι τύπο έχει;

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

achilleas έγραψε: Τετ Δεκ 12, 2012 9:17 am
s.kap έγραψε:Για τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}}$ ισχύει $\displaystyle{f(f(x))=\frac {x^3}{3}-\frac {x^2}{2}-x+4,\ \forall x \in \Bbb{R}}$

Ποιο είναι το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=x}$ ;
Μια επιπλέον ερώτηση:

Υπάρχει συνάρτηση που να ικανοποιεί την υπόθεση, κι αν ναι, τι τύπο έχει;

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αχιλλέα, έχεις λύση για την παραπάνω;

Πλήθος ριζών

Πλήθος ριζών

Re: Πλήθος ριζών

Re: Πλήθος ριζών

Re: Πλήθος ριζών

Μέλη σε σύνδεση