Ολοκλήρωμα 30

#2

Η διλογαριθμική συνάρτηση ${\rm{Li}}_{2}$ ορίζεται ως

${\rm{Li}}_{2}(z):=\displaystyle-\int_{0}^{z}\frac{\log{(1-t)}}{t}\,dt$

Με παραγοντική ολοκλήρωση προκύπτει (μια ισότητα που οφείλεται στον Euler)

$\begin{array}{l} {\rm{Li}}_{2}(x)=-\log{x}\,\log(1-x)-\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{\log{t}}{1-t}\,dt=-\log{x}\,\log(1-x)-{\rm{Li}}_{2}(1-x)+{\rm{Li}}_{2}(1)\quad\stackrel{(*)}{\Longrightarrow} \vspace{0.2cm}\\ {\rm{Li}}_{2}(x)+{\rm{Li}}_{2}(1-x)=\dfrac{\pi^2}{6}-\log{x}\,\log(1-x)\quad(1) \end{array}$

Μια ισότητα που οφείλεται στον Landen είναι η

${\rm{Li}}_{2}\bigl(\tfrac{-x}{1-x}\bigr)+\frac{1}{2}\,{\rm{Li}}_{2}(x^2)-{\rm{Li}}_{2}(-x)=-\frac{1}{2}\,\,\log^2(1-x)\quad(2)\,, \;x<1$

Αντικαθιστώντας $x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ στην (1)

και $x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ στην (2)

προκύπτει το σύστημα

$\left\{{\begin{array}{l} \displaystyle{\rm{Li}}_{2}\bigl({\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}}\bigr)+{\rm{Li}}_{2}\bigl({\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}}\bigr)=\frac{\pi^2}{6}-\log\bigl({\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}}\bigr)\,\log\bigl({\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}}\bigr) \vspace{0.2cm}\\ \displaystyle\frac{3}{2}\,{\rm{Li}}_{2}\bigl({\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}}\bigr)-{\rm{Li}}_{2}\bigl({\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}}\bigr)=-\frac{1}{2}\,\log^2\bigl({\tfrac{\sqrt{5}+1}{2}}\bigr) \end{array}}\right\}$

Από όπου προκύπτει ότι

$\displaystyle-{\rm{Li}}_{2}\bigl({\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}}\bigr)=\int_{0}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\dfrac{\ln{(1-x)}}{x}\,dx=\log^2\bigl({\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}}\bigr)-\frac{\pi^2}{10}\,.\quad\square$

$(*)\; {\rm{Li}}_{2}(1)=\dfrac{\pi^2}{6}$

Ολοκλήρωμα 30

Ολοκλήρωμα 30

Re: Ολοκλήρωμα 30

Μέλη σε σύνδεση