Βραδυνό ολoκλήρωμα 20

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Βραδυνό ολoκλήρωμα 20

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Οκτ 27, 2009 7:23 pm

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
\displaystyle \ I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sin x} \right)\ln \left( {\cos x} \right)dx}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 20

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Σάβ Νοέμ 07, 2009 2:42 am

Πανέμορφο .. και πολύ δύσκολο

μου προέκυψαν επίσης πολύ καλές επεκτάσεις .. κάποιες θα δώσω σε επόμενες αναρτήσεις
Συνημμένα
LnSinLnCos.jpg
LnSinLnCos.jpg (152.63 KiB) Προβλήθηκε 469 φορές


Σεραφείμ Τσιπέλης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12624
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 20

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 07, 2009 10:15 pm

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
\displaystyle \ I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sin x} \right)\ln \left( {\cos x} \right)dx}
Η ευχέρεια του Σεραφείμ με τα ολοκληρώματα, και όχι μόνο, είναι απίστευτη.

Δίνω τα κύρια βήματα άλλης λύσης. Οι πράξεις είναι πολλές, αλλά ρουτίνα.

Χρησιμοποιούμε τον γνωστό από τις σειρές Fourier τύπο

\displaystyle \ln (2sinx) = - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{cos(nx)}{n}, \  0 < x < \pi

οπότε, θέτοντας π/2 - x στη θέση του x είναι

\displaystyle \ln (2cosx) = - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{cos(n(\frac{\pi}{2}-x))}{n}

Πολλαπλασιάζουμε τώρα τις σειρές ως γινόμενο Cauchy και ολοκληρώνουμε όρο προς όρο.

Ομολογώ ότι δεν έκανα τις πράξεις μέχρι τέλους, αλλά οι όροι που βρήκε ο Σεραφείμ είναι ορατοί. Π.χ. το γινόμενο του \ln (2sinx) = \ln2 + ln(sinx) με το \ln (2cosx) = \ln2 + ln(cosx) εμφανίζει το (\ln2)^2.

Φιλικά,

Μιχάλης.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες