Όριο και παράγωγος

irakleios · #1

Έστω συνάρτηση

ορισμένη σε διάστημα $\Delta$ , $1\in\Delta$ και παραγωγίσιμη στο $x_{o}=1$ με f(1)=f '(1) = -2 .

Να υπολογισθεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to1}\frac{2xf(x)+4}{x-1} } .$

#2

...οριακά και πάω...

Γνωρίζουμε ότι ${f}'(1)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+2}{x-1}=-2$ και το ζητούμενο όριο είναι

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2xf(x)+4}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2xf(x)+4x-4x+4}{x-1}=$

$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x\frac{f(x)+2}{x-1}-4 \right)=2{f}'(1)-4=-8$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

irakleios έγραψε:Έστω συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα $\Delta$ , $1\in\Delta$ και παραγωγίσιμη στο $x_{o}=1$ με

Να υπολογισθεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to1}\frac{2xf(x)+4}{x-1} } .$

Για χάρη ποικιλίας, άλλος τρόπος: Θέτουμε g(x)=2xf(x)

, οπότε

συνεχής και παραγωγίσιμη στο

με $\displaystyle{g(1)=-4}$ και
$\displaystyle{g'(x) = 2f(x)+2xf'(x), \, g'(1) = 2f(1)+2f'(1)=-8}$ .

Από τον ορισμό της παραγώγου ως όριο πηλίκου έχουμε

$\displaystyle{\lim_{x\to1}\frac{2xf(x)+4}{x-1} } =\lim_{x\to1}\frac{g(x) - g(1)}{x-1} = g'(1)=-8$ .

M.

Edit: Διόρθωση τυπογραφικού.

irakleios · #4

Σας ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις.

Ο λόγος που έβαλα αυτήν την άσκηση είναι ότι δεν μπορεί κάποιος να εφαρμόσει τον κανόνα του Ηospital .

Χάρης Γ.Λ. · #5

Καλημέρα και χρόνια πολλά στους εορτάζοντες σήμερα .

Γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) + 2}}{{x - 1}}}$ .Θέτουμε $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) + 2}}{{x - 1}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\left( {x - 1} \right) - 2}$ με $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = - 2}$ .

Τότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2xf(x) + 4}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x\left[ {g\left( x \right)\left( {x - 1} \right) - 2} \right] + 4}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2xg\left( x \right)\left( {x - 1} \right) - 4x + 4}}{{x - 1}}}=$
$\displaystyle{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\frac{{2xg\left( x \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} - \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {2xg\left( x \right) - 4} \right] = 2 \cdot 1 \cdot \left( { - 2} \right) - 4 = - 8}.$

Ένας κλασικός τρόπος με χρήση βοηθητικής συνάρτησης .

Όριο και παράγωγος

Όριο και παράγωγος

Re: Όριο και παράγωγος

Re: Όριο και παράγωγος

Re: Όριο και παράγωγος

Re: Όριο και παράγωγος

Μέλη σε σύνδεση