Θεωρία αριθμών 9

#1

Δίνονται οι αριθμοί:

$\displaystyle{a=15^{2009}+15^{2008}}$

$\displaystyle{b=15^{2010}+15^{1005}}$

$\displaystyle{c=15^{2011}+13^{2012}+11^{2013}}$

Δείξτε ότι ο $\displaystyle{a}$ είναι τετράγωνος αριθμός, ενώ οι $\displaystyle{b , c}$ δεν είναι.

(Για μαθητές Γ Γυμνασίου, μέχρι 17\2\2013)

gavrilos · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Δίνονται οι αριθμοί:

$\displaystyle{a=15^{2009}+15^{2008}}$

$\displaystyle{b=15^{2010}+15^{1005}}$

$\displaystyle{c=15^{2011}+13^{2012}+11^{2013}}$

Δείξτε ότι ο $\displaystyle{a}$ είναι τετράγωνος αριθμός, ενώ οι $\displaystyle{b , c}$ δεν είναι.

(Για μαθητές Γ Γυμνασίου, μέχρι 17\2\2013)

$\displaystyle{a=15^{2009}+15^{2008}=15^{2008} \cdot 16 =( 15^{1004})^2 \cdot 4^2=(15^{1004} \cdot 4)^2}$

$\displaystyle{b=15^{2010}+15^{1005}=15^{1005}(15^2+1)=15^{1005} \cdot 113 \cdot 2}$

.... το 113 είναι πρώτος άρα ο αριθμός δεν αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων που να μας δίνουν τετράγωνο.

$\displaystyle{15^{2011}}$ λήγει σε 5 .

$\displaystyle{13^{2012}=169^{1006}}$ .Το 9 όταν υψώνεται σε άρτιο εκθέτη βγάζει αποτέλεσμα που λήγει σε 1.

$\displaystyle{11^{2013}}$ λήγει σε 1 .

$\displaystyle{5+1+1=7}$ είναι το τελευταίο ψηφίο του

ο οποίος συνεπώς δεν είναι τέλειο τετράγωνο

georgemarga · #3

Μια διορθωση.
$b=15^{2010}+15^{1005}=15^{1005}(15^{1005}+1)$ που δεν ειναι τελειο τετραγωνο αφου ειναι γινομενο 2 διαδοχικων

Θεωρία αριθμών 9

Θεωρία αριθμών 9

Re: Θεωρία αριθμών 9

Re: Θεωρία αριθμών 9

Μέλη σε σύνδεση