Πολυωνυμική εξίσωση

#1

Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα $P(x)\in \Bbb{R}[x]$ τέτοια ώστε P(x)P(x - 3)= P(x^2 ).

Antonis_Z · #2

Καλησπέρα!Μια προσπάθεια σ'αυτήν(αμφιβάλλω αν είναι σωστή).

Παρατηρούμε ότι το μηδενικό πολυώνυμο και το P(x)=1

είναι λύσεις.Θα προσπαθήσουμε να βρούμε και τις υπόλοιπες(αν υπάρχουν).

Έστω

ρίζα του πολυωνύμου.
Για x=a

έχουμε

,άρα επαγωγικά θα ισχύει $P(a^{2^n})$ για κάθε

.Όμως το πολυώνυμο δε μπορεί να έχει άπειρες ρίζες άρα πρέπει κάποια από τα a,a^2,a^4,...

να είναι ίσα το οποίο δίνει a=0

ή

.

Στην αρχική για x=x+3

είναι:

.
Για

έχουμε

και επαγωγικά $P((a+3)^{2^n})=0$ για κάθε

.Απ'αυτό-ομοίως με την προηγούμενη παράγραφο- είναι a=-3

ή

.
Το

δε μπορεί να ισχύει,ενώ για το δεύτερο $1=|a+3|\geq 3-|a|=2$ άτοπο...

Άρα μοναδικές λύσεις αυτές που έγραψα πρώτα.

#3

asxetos · #4

Δεν υπάρχει περίπτωση το πολυώνυμο να μην έχει ρίζες;

#5

asxetos έγραψε:Δεν υπάρχει περίπτωση το πολυώνυμο να μην έχει ρίζες;

Αν δεν είναι σταθερό, τότε έχει ακριβώς τόσες ρίζες (γενικά μιγαδικές, με πολλαπλότητες ) όσες ο βαθμός του.

asxetos · #6

socrates έγραψε:
asxetos έγραψε:Δεν υπάρχει περίπτωση το πολυώνυμο να μην έχει ρίζες;

Αν δεν είναι σταθερό, τότε έχει ακριβώς τόσες ρίζες (γενικά μιγαδικές, με πολλαπλότητες ) όσες ο βαθμός του.

Σωστά.Έχεις δίκιο.
Εγώ μπερδεύτηκα όταν είδα το $\mathbb{R}[x]$ (που σημαίνει ότι το πολυώνυμο έχει πραγματικούς συντελεστές) και νόμιζα ότι το $\mathbb{R}$ ήταν το πεδίο ορισμού του πολυωνύμου.

Πολυωνυμική εξίσωση

Πολυωνυμική εξίσωση

Re: Πολυωνυμική εξίσωση

Re: Πολυωνυμική εξίσωση

Re: Πολυωνυμική εξίσωση

Re: Πολυωνυμική εξίσωση

Re: Πολυωνυμική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση