Pascal παράλληλη στην μεσοπαράλληλή της...

#1

: Pascal παράλληλη στην μεσοπαράλληλη της .....png (23.91 KiB) Προβλήθηκε 1187 φορές

Έστω κυρτό τετράπλευρο και ας είναι τα μέσα των πλευρών του αντίστοιχα. Αν $K \equiv AP \cap DM,L \equiv CM \cap BP$

και $S \equiv AB \cap CD$ . Να δειχθεί ότι : $KL\parallel FN$ και μεσοπαράλληλη της και της εκ' του παραλλήλου προς την ευθείας $\left( \varepsilon \right)$

Στάθης

#2

Η ευθεία

του Θεωρήματος Πάππου (*) για τις τριάδες των σημείων $B,\ M,\ A$ και $C,\ P,\ D$ επί των πλευρών $AB,\ CD$ αντιστοίχως, παραμένει η ίδια και όταν τα σημεία $M,\ P,$ δεν ταυτίζονται απαραίτητα με τα μέσα τους, αλλά τις χωρίζουν στον ίδιο λόγο.

Η απόδειξη της παραλληλίας $KL\parallel FN$ είναι το κύριο πρόβλημα εδώ, αφού η ζητούμενη μεσοπαραλληλία προκύπτει άμεσα από αυτήν.

(*) Στα μαθητικά μου χρόνια μαθαίναμε αυτό το θεώρημα, ως Θεώρημα Πάππου - Pascal. Τα τελευταία όμως είκοσι χρόνια τουλάχιστον, απ' ότι μπορώ να θυμηθώ, νομίζω ότι όχι μόνο στην ελληνική αλλά και στην διεθνή βιβλιογραφία, έχει επικρατήσει η ονομασία Θεώρημα Πάππου ( Pappus theorem ή Pappos theorem ), σε ένδειξη τιμής προφανώς, του τελευταίου διακεκριμένου Γεωμέτρη της ύστερης αρχαιότητας.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Ένα ενδιαφέρον πρόσθετο αποτέλεσμα είναι το εξής :

Αποδείξτε ότι τα σημεία $E\equiv AT\cap DR$ και $Z\equiv BR\cap CT$ ανήκουν στην ευθεία $(\epsilon),$ όπου $R,\ T$ είναι τα μέσα των $AC,\ BD,$ αντιστοίχως.

#3

Έστω ότι για τα σημεία $M,\ P,$ επί των $AB,\ CD$ αντιστοίχως, ισχύει $\displaystyle \frac{AM}{MB} = \frac{DP}{PC}$ και έστω το σημείο $Q\equiv AC\cap BD.$

Για τις τριάδες των σημείων $A,\ M,\ B$ και $D,\ P,\ C,$ επί των $AB,\ CD$ αντιστοίχως, σύμφωνα με το Θεώρημα Πάππου, προκύπτει ότι τα σημεία $K\equiv AP\cap DM$ και $Q\equiv AC\cap DB$ και $L\equiv MC\cap PB$ είναι συνευθειακά και σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι $KQL\parallel FN\ \ \ ,(1)$ , όπου $F,\ N$ είναι τα μέσα των τμημάτων $AD,\ BC,$ αντιστοίχως.

: Pascal παράλληλη στην μεσοπαράλληλη της ... - Απόδειξη της γενίκευσης και του πρόσθετου αποτελέσματος.; f=112_t=35400(a).PNG (33.3 KiB) Προβλήθηκε 1006 φορές

Έστω $R,\ T,$ τα μέσα των $AC,\ BD$ αντιστοίχως.

Για τις τριάδες των σημείων $A,\ R,\ C$ και $D,\ T,\ B,$ επί των $AC,\ BD$ αντιστοίχως, σύμφωνα με το Θεώρημα Πάππου, προκύπτει επίσης ότι τα σημεία $S\equiv AB\cap DC$ και $E\equiv AT\cap DR$ και $Z\equiv RB\cap TC$ είναι συνευθειακά και σύμφωνα πάλι με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι $SEZ\parallel FN\ \ \ ,(2)$

Από $(1),\ (2)$ $\Longrightarrow$ $KL\parallel FN\parallel EZ\ \ \ ,(3)$

Από (3)

και από το ότι η ευθεία

περνάει από το μέσον της διαγώνιας

στο πλήρες τετράπλευρο SBQCAD,

όπως ορίζεται στο Θεώρημα Gauss-Newton, συμπεραίνεται ότι η ευθεία

είναι μεσοπαράλληλη των $KL,\ EZ\equiv (\epsilon)$ και τα ζητούμενα καθώς και το πρόσθετο αποτέλεσμα έχουν αποδειχθεί.

ΛΗΜΜΑ. - Δίνονται δύο τυχόντα τμήματα $AB,\ CD$ , τυχαία συσχετισμένα το ένα ως προς το άλλο και έστω $E,\ F,$ δύο σταθερά σημεία ( εσωτερικά ή εξωτερικά ) επί αυτών αντιστοίχως, ώστε να ισχύει $\displaystyle \frac{AE}{EB} = \frac{DF}{FC}$ . Αποδείξτε ότι τα συνευθειακά σημεία $K\equiv AF\cap DE$ και $L\equiv AC\cap BD$ και $M\equiv BF\cap CE,$ όπως ορίζεται στο Θεώρημα Πάππου για τις τριάδες των σημείων $A,\ E,\ B$ και $D,\ F,\ C,$ ανήκουν σε ευθεία παράλληλη προς την ευθεία που συνδέει τα μέσα των $AD,\ BC.$

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το παραπάνω Λήμμα.

#4

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Δίνονται δύο τυχόντα τμήματα $AB,\ CD$ , τυχαία συσχετισμένα το ένα ως προς το άλλο και έστω $E,\ F,$ δύο σταθερά σημεία ( εσωτερικά ή εξωτερικά ) επί αυτών αντιστοίχως, ώστε να ισχύει $\displaystyle \frac{AE}{EB} = \frac{DF}{FC}$ . Αποδείξτε ότι τα συνευθειακά σημεία $K\equiv AF\cap DE$ και $L\equiv AC\cap BD$ και $M\equiv BF\cap CE,$ όπως ορίζεται στο Θεώρημα Πάππου για τις τριάδες των σημείων $A,\ E,\ B$ και $D,\ F,\ C,$ ανήκουν σε ευθεία παράλληλη προς την ευθεία που συνδέει τα μέσα των $AD,\ BC.$

Δια των σημείων $A,\ D,$ φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τις $CD,\ AB$ αντιστοίχως και έστω

το σημείο τομής των.

Έστω το σημείο $S\equiv AB\cap CD$ και ας είναι

το μέσον του SL.

Από το πλήρες τετράπλευρο SALDBC,

σύμφωνα με το Θεώρημα Gauss-Newton, έχουμε ότι τα σημεία $P,\ Q,\ R$ είναι συνευθειακά, όπου $Q,\ R$ είναι τα μέσα των $AD,\ BC,$ αντιστοίχως.

: Pascal παράλληλη στην μεσοπαράλληλή της ... - Απόδειξη του Λήμματος.; f=112_t=35400(b).PNG (28.37 KiB) Προβλήθηκε 989 φορές

Από $CD\parallel AN$ $\Longrightarrow$ $(A\ldotp DFCN) = (D,F,C)\ \ \ ,(1)$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ομοίως, από $AB\parallel DN$ $\Longrightarrow$ $(D\ldotp AEBN) = (A,E,B)\ \ \ ,(2)$

Αλλά, ισχύει $(D,F,C) = (A,E,B)\ \ \ ,(3)$

Από $(1),\ (2),\ (3)$ $\Longrightarrow$ $(A\ldotp DFCN) = (D\ldotp AEBN)\ \ \ ,(4)$

Από (4)

και επειδή οι δέσμες $A\ldotp DFCN,\ D\ldotp AEBN$ έχουν την

ως κοινή ακτίνα τους, προκύπτει ότι τα σημεία $K\equiv AF\cap DE$ και $L\equiv AC\cap DB$ και $N\equiv AN\cap DN$ είναι συνευθειακά και άρα, το σημείο

ανήκει στην ευθεία KLM.

Στο τρίγωνο $\vartriangle SLN$ τώρα, από PS = PL

και

λόγω του παραλληλογράμμου ASDN

, συμπεραίνεται ότι $LN\parallel PQ$ $\Longrightarrow$ $KLM\parallel QR$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Αξίζει να σημείωθεί ότι αν για παράδειγμα, το

είναι εσωτερικό σημείο του

και το

είναι εξωτερικό σημείο του CD,

τότε η ευθεία KLM

είναι παράλληλη προς την ευθεία που συνδέει τα μέσα των $AB,\ CD.$

$\bullet$ Η απόδειξη αυτή είναι αφιερωμένη στον Νίκο Ράπανο, εκλεκτό μέλος της παρέας ταλαντούχων νέων, που πρωταγωνιστούσαν στα διαδικτυακά και διαγωνιστικά δρώμενα πριν μερικά χρόνια ως μαθητές Λυκείου.

Οι νέοι αυτοί σήμερα προοδεύουν σε ανώτερο επίπεδο και βρίσκονται στο κρίσιμο σταυροδρόμι της πορείας του Μέλλοντός τους ( εκεί γύρω απ' τα 25 ). Τους εύχομαι από καρδιάς, οικογενειακή προκοπή και κάθε επιτυχία στους στόχους και τις επιδιώξεις τους.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Ότι γράφω πιο πάνω δεν είναι καινούργιο, αλλά μετάφραση της απόδειξης που είχα δώσει παλιότερα στο φόρουμ mathlinks.ro Εδώ.

Nick Rapanos · #5

κ. Βήττα,

σας ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση - με τιμά! Και πράγματι θα ήθελα κι εγώ να είμαι πιο ενεργός στο forum, αλλά με πολύ ευχαρίστηση βλέπω ότι η "νέα γεννιά" είναι πολύ δυναμική και αδιαμφισβήτητα μας έχει ξεπεράσει!

Pascal παράλληλη στην μεσοπαράλληλή της...

Pascal παράλληλη στην μεσοπαράλληλή της...

Re: Pascal παράλληλη στην μεσοπαράλληλή της...

Re: Pascal παράλληλη στην μεσοπαράλληλή της...

Re: Pascal παράλληλη στην μεσοπαράλληλή της...

Re: Pascal παράλληλη στην μεσοπαράλληλή της...

Μέλη σε σύνδεση