Τετράγωνο (Α ΛΥΚΕΙΟΥ)

#1

Δίνεται ένα τετράγωνο ABCD

. Από την κορυφή

φέρνουμε δύο ευθείες

και

, κάθετες μεταξύ τους, και έστω

ότι η

τέμνει την ευθεία

στο

και η

, τέμνει την ευθεία

στο

. Δείξτε ότι η διαγώνιος

διχο-

τομεί το ευθύγραμμο τμήμα

(Mέχρι 12/3/13)

ΑΡΣΕΝΟΗ · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Δίνεται ένα τετράγωνο . Από την κορυφή φέρνουμε δύο ευθείες και , κάθετες μεταξύ τους, και έστω

ότι η τέμνει την ευθεία στο και η , τέμνει την ευθεία στο . Δείξτε ότι η διαγώνιος διχο-

τομεί το ευθύγραμμο τμήμα

(Mέχρι 12/3/13)

: askhhsh.png (14.48 KiB) Προβλήθηκε 508 φορές

Καλησπέερα κ.Δημήτρη και

Έχουμε και λέμε:

$Z\widehat AE=90$ (υπόθεση), δηλ. $\varphi +\omega =90$ (1)

Τα τρίγωνα ABZ

και

είναι ίσα άρα AZ=AE

. Επομένως το τρίγωνο AZE

ειναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα $A\widehat ZE=A\widehat EZ=45$

Στο DKE

:
$45 +(45+\omega )+ D\widehat KE=180 \Leftrightarrow$
$D\widehat KE=180-90-\omega \Leftrightarrow$
$D\widehat KE=90-\omega \Leftrightarrow \limits^{(1)}$
$D\widehat KE=\varphi$
άρα το ADEK

είναι εγγράψιμο αφού η πλευρά

φαίνετε απο τις κορυφές A,K

υπο ίσες γωνίες
$D \widehat AE=D\widehat KE=\varphi$

Αφού είναι εγγράψιμο θα έχει τις απέναντι γωνίες παραπληρωματικές , δηλαδή:
$A\widehat DE +A\widehat KE=180$
$90+ A\widehat KE=180$
$A\widehat KE=90$
άρα $AK\perp ZE$ και επείδη το AZE

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές η

είναι και διάμεσος, δηλ. το

είναι μεσο της

.

(το σχήμα μου δε το σχολιάζω...

)

gavrilos · #3

Καλησπέρα,

Ελπίζω μόνο να είναι σωστό γιατί μετά από τόσες ημέρες που το παλεύω μη βλέποντας κάτι...

: Λύση επιτέλους.PNG (17.6 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές

Λοιπόν.
Τα τρίγωνα $\displaystyle{ABZ,ADE}$ είναι ίσα επειδή $\displaystyle{AB=AD}$ , $\displaystyle{\hat{ABZ}=\hat{ADE}=90^{\circ}}$ και

$\displaystyle{\hat{ZAB}=\hat{DAE}}$ αφού είναι $\displaystyle{\hat{ZAE}=\hat{BAD}}$ άρα οι αντίστοιχες πλευρές αυτών των γωνιών θα

σχηματίζουν ίσες γωνίες.

Άρα το τρίγωνο $\displaystyle{ZAE}$ θα είναι ισοσκελές.

Σχεδιάζουμε τον περίκυκλο του εγγράψιμου τετραπλεύρου $\displaystyle{ASBZ}$ ο οποίος όμως είναι και περίκυκλος των τριγώνων

$\displaystyle{ASZ,ABZ}$ .

Γνωρίζουμε ότι το μέσο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου απέχει ίση απόσταση από όλες τις κορυφές του (αφού η διάμεσος που αντιστοιχεί στην

υποτείνουσα ισούται με το μισό της) άρα η διάμετρος του περίκυκλου ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η υποτείνουσά του .

Έτσι στο σχήμα διάμετρος του κύκλου είναι η $\displaystyle{AZ}$ (το τρίγωνο $\displaystyle{ABZ}$ είναι ορθογώνιο) κι αφού η

$\displaystyle{\hat{ASZ}}$ βαίνει στα άκρα της ισούται με $\displaystyle{90^{\circ}}$ .Επομένως η $\displaystyle{AS}$ είναι ύψος του

τριγώνου $\displaystyle{ZAE}$ και αφού αυτό είναι ισοσκελές και διάμεσος.

Πιστεύω να είμαι σωστός.Αν όχι τι να κάνουμε!!

Φιλικά,
gavrilos

Τετράγωνο (Α ΛΥΚΕΙΟΥ)

Τετράγωνο (Α ΛΥΚΕΙΟΥ)

Re: Τετράγωνο (Α ΛΥΚΕΙΟΥ)

Re: Τετράγωνο (Α ΛΥΚΕΙΟΥ)

Μέλη σε σύνδεση