Καθετότητα

#1

Σε ένα τρίγωνο ABC

φέρουμε τη διάμεσο

.Στην πλευρά

παίρνουμε σημείο

τέτοιο, ώστε TC=2TB

.

Η διχοτόμος της γωνίας ATB

τέμνει στην

στο

.

Η ευθεία

τέμνει την

στο

.Να αποδειχθεί ότι $TE \perp TD$ .

Μπάμπης

S.E.Louridas · #2

Καλημέρα Μπάμπη.
Απλά καταθέτω μία σκέψη, αρκεί να αποδείξουμε ότι τα σημεία E,D

είναι αρμονικά συζηγή των σημείων F,C

όταν

είναι η τομή των ευθειών AT,DC

.
Αυτό μάλλον επιτυγχάνεται με θεώρημα Μενελάου στά τρίγωνα CFT, ADC

με αντίστοιχες τέμνουσες τις ευθείες AM, AT

.

dimitris pap · #3

Στην ίδια λογική με τον κύριο Λουρίδα; θα υποθέσουμε ισοδύναμα ότι

είναι διχοτόμος της ATM

και θα αποδείξουμε ότι C,E,D

συνευθειακά.

Από θεώρημα διχοτόμων έχουμε: $\frac{AD}{DB}=\frac{AT}{TB}=2\frac{AT}{TM}=2\frac{AE}{EM}$ . Επίσης $\frac{CB}{CM}=2$ .

Ετσι, από θέωρημα Μενελάου στο ABM

με διατέμνουσα την

έχουμε το ζητούμενο.

p_gianno · #4

.
Είναι

και

μέσο του

.

(

συνδέει μέσα πλευρών τριγώνου BDC

) συνεπώς $\displaystyle \frac{ID}{DA}= \frac{ME}{EA}$ (1)

$\displaystyle \frac{TB}{TA}=^*= \frac{DB}{DA} \rightarrow \frac{2TM }{TA}= \frac{DB}{DA} \rightarrow$

$\displaystyle \frac{TM }{TA}= \frac{DB}{2DA} \rightarrow \frac{TM }{TA}= \frac{DI}{DA}=^{(1)}= \frac{EM}{EA}$

επομένως από αντίστροφο θεωρήματος διχοτόμου στο τργ ATM

έχουμε

διχοτόμος της γων ATM

.

Προφανώς DTE=90^0

επειδή οι

διχοτομούν εφεξής παραπληρωματικές γωνίες.

Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου

#5

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Σε ένα τρίγωνο φέρουμε τη διάμεσο .Στην πλευρά παίρνουμε σημείο τέτοιο, ώστε . Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει στην στο . Η ευθεία τέμνει την στο .Να αποδειχθεί ότι $TE \perp TD$ .

Μπάμπης

Τίποτα το διαφορετικό. Μόνο για την καλή παρέα!!!

: καθετότητα.png (16.17 KiB) Προβλήθηκε 849 φορές

Με $TC = 2TB\mathop \Rightarrow \limits^{BM = MC} \displaystyle\frac{{TM}}{{TB}} = \displaystyle\frac{{CM}}{{CB}} = \displaystyle\frac{1}{2} \Rightarrow \left( {M,B,T,C} \right)$ αρμονική σειρά άρα και η δέσμη είναι αρμονική οπότε και η σειρά $\left( {E,D,F,C} \right)$

(με $F \equiv AT \cap CD$ ) είναι αρμονική άρα και η δέσμη είναι αρμονική και με διχοτόμο της $\angle FTB \Rightarrow \boxed{TE \bot TD}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Καθετότητα

Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση