Ισοσκελές από επαφή

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6957
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ισοσκελές από επαφή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 05, 2013 10:13 pm

Χριστός Ανέστη.
Ισοσκελές της Λαμπρής.png
Ισοσκελές της Λαμπρής.png (16.12 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές
Έστω ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O . Σημείο S διατρέχει το ημικύκλιο .

Φέρνουμε την εφαπτομένη ευθεία (\varepsilon ) του ημικυκλίου στο S και στην συνέχεια

γράφουμε τους κύκλους (A,AS)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(B,BS) που τέμνουν την (\varepsilon ) στα σημεία

C,D αντίστοιχα.

Να δειχθεί ότι το τρίγωνο OCD είναι ισοσκελές.

( Κάθε λύση εντός ή εκτός φακέλου δεκτή)

Νίκος


margavare
Δημοσιεύσεις: 203
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:48 am
Τοποθεσία: Βέροια

Re: Ισοσκελές από επαφή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από margavare » Κυρ Μάιος 05, 2013 11:29 pm

\begin{gathered} 
  AK \bot CD,\quad BL \bot CD,\quad OS \bot CD \hfill \\ 
  CK = KS = \frac{{CS}}{2},\quad SL = LD = \frac{{SD}}{2},\quad OA = OB \hfill \\  
\end{gathered}
Το AKLB είναι ορθογώνιο τραπέζιο με O μέσο της AB και OS παράλληλη στις βάσεις. Άρα η OS είναι η διάμεσος του τραπεζίου.

KS = SL \Rightarrow \frac{{CS}}{2} = \frac{{SD}}{2} \Rightarrow CS = SD.

Στο τρίγωνο OSD η OS είναι διάμεσος και ύψος, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.


Μαργαρίτα Βαρελά
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3978
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ισοσκελές από επαφή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Μάιος 05, 2013 11:53 pm

Doloros έγραψε:Χριστός Ανέστη.
Έστω ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O . Σημείο S διατρέχει το ημικύκλιο .Φέρνουμε την εφαπτομένη ευθεία (\varepsilon ) του ημικυκλίου στο S και στην συνέχεια γράφουμε τους κύκλους (A,AS)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(B,BS) που τέμνουν την (\varepsilon ) στα σημεία C,D αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο OCD είναι ισοσκελές.
( Κάθε λύση εντός ή εκτός φακέλου δεκτή)
Νίκος
Γράφω για τα Χρόνια Πολλά στον Νίκο και στη Μαργαρίτα
1.png
1.png (30.73 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές
Έστω Q το δεύτερο (εκτός του S) σημείο τομής των κύκλων \left( A \right),\left( B \right). Τότε με SQ \bot AB (διάκεντρος κάθετη στην κοινή χορδή δύο τεμνομένων κύκλων) και

\angle CSA\mathop  = \limits^{\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,\left( O \right)} \angle SBQ\mathop  = \limits^{o\xi \varepsilon \iota \varepsilon \varsigma \,\,\mu \varepsilon \,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma } \angle ASQ και με

AC = AS = AQ = {R_A} τα ισοσκελή τρίγωνα \vartriangle ASC,\vartriangle ASQ είναι ίσα, άρα \boxed{\left( {SC} \right) = \left( {SQ} \right)}:\left( 1 \right).Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι: \vartriangle SBQ = \vartriangle SBD \Rightarrow \left( {SD} \right) = \left( {SQ} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \left( {SC} \right) = \left( {SD} \right) \Rightarrow OS διάμεσος (και ύψος από την εφαπτόμενη) άρα το τρίγωνο \vartriangle OCD είναι ισοσκελές.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
margavare
Δημοσιεύσεις: 203
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:48 am
Τοποθεσία: Βέροια

Re: Ισοσκελές από επαφή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από margavare » Δευ Μάιος 06, 2013 12:03 am

Χρόνια πολλά σε όλους. Από την Κρήτη μέχρι την Ευρώπη.


Μαργαρίτα Βαρελά
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3264
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ισοσκελές από επαφή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Μάιος 06, 2013 9:42 am

Καλημέρα και χρόνια πολλά.
Ισοσκελές-από-επαφή.png
Ισοσκελές-από-επαφή.png (17.38 KiB) Προβλήθηκε 351 φορές
Προεκτείνουμε την SO κατά ίσο τμήμα OE και σχηματίζεται το ορθογώνιο ASBE.

Είναι E\widehat AC = E\widehat BD = {90^ \circ } + 2\varphi, οπότε \triangleleft EAC\mathop  = \limits^{\Pi  - \Gamma  - \Pi }  \triangleleft EBD \Rightarrow EC = ED.

Έτσι η SE είναι μεσοκάθετος της CD, οπότε \triangleleft OCD ισοσκελές.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6957
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοσκελές από επαφή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μάιος 06, 2013 11:43 am

Χριστός Ανέστη .

Άριστες λύσεις από άριστους συναδέλφους


Αφού μίλησα και για εκτός φακέλου λύση , ας δούμε μια.
Μετρικά το ισοσκελές της Λαμπρής.png
Μετρικά το ισοσκελές της Λαμπρής.png (46.18 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές

Οι γωνίες \widehat \omega ,\widehat \varphi είναι ίσες γιατί έχουν κάθετες πλευρές και συνεπώς τα ισοσκελή

τρίγωνα OAS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BSD είναι όμοια . Ομοίως είναι και τα τρίγωνα

OBS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OSC όμοια.

Θέτουμε: OS = R\,\,\,,\,\,\,AC = {R_1}\,\,\,,\,\,\,BD = {R_2}\,\,\,,\,\,\,\,SC = x\,\,\,,\,\,\,SD = y και θα έχουμε:

OAS \approx BSD \Rightarrow \displaystyle\frac{{OA}}{{BS}} = \displaystyle\frac{{AS}}{{SD}} \Rightarrow \displaystyle\frac{R}{{{R_2}}} = \displaystyle\frac{{{R_1}}}{y} \Rightarrow \boxed{y = \displaystyle\frac{{{R_1}{R_2}}}{R}} . Ομοίως

OBS \approx ASC \Rightarrow \displaystyle\frac{{OB}}{{AS}} = \displaystyle\frac{{BS}}{{SC}} \Rightarrow \displaystyle\frac{R}{{{R_1}}} = \displaystyle\frac{{{R_2}}}{x} \Rightarrow \boxed{x = \displaystyle\frac{{{R_1}{R_2}}}{R}}

Δηλαδή x = y οπότε στο τρίγωνο OCD η OS είναι ταυτόχρονα ύψος και

διάμεσος και έτσι αυτό θα είναι ισοσκελές.

Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3978
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ισοσκελές από επαφή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Μάιος 06, 2013 1:02 pm

Doloros έγραψε:Χριστός Ανέστη.
Έστω ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O . Σημείο S διατρέχει το ημικύκλιο .Φέρνουμε την εφαπτομένη ευθεία (\varepsilon ) του ημικυκλίου στο S και στην συνέχεια γράφουμε τους κύκλους (A,AS)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(B,BS) που τέμνουν την (\varepsilon ) στα σημεία C,D αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο OCD είναι ισοσκελές.
( Κάθε λύση εντός ή εκτός φακέλου δεκτή)
Νίκος
Για μια καλημέρα...
1.png
1.png (34.57 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές
Με \left\{ \begin{gathered} 
  \angle ACS\mathop  = \limits^{\left( {AC} \right) = \left( {AS} \right) = {R_A}} \angle ASC \hfill \\ 
  \angle SDB\mathop  = \limits^{\left( {BD} \right) = \left( {BS} \right) = {R_B}} \angle BSD \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \angle ACS + \angle SDB = \angle ASC + \angle BSD\mathop  = \limits^{\angle ASD = {{90}^0}} {90^0} \Rightarrow \vartriangle CPD ορθογώνιο στο P \equiv CA \cap DB

άρα P \in \left( O \right) (αφού AB διάμετρος του \left( O \right)).Τότε \angle SPC \equiv \angle SPA\mathop  = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \,\, - \,\,\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma \,} \angle ASC

\mathop  = \limits^{\left( {AS} \right) = \left( {AC} \right) = {R_A}} \angle ACS \equiv PCS \Rightarrow \left( {PS} \right) = \left( {SC} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\vartriangle DPS\,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota o\,\,\sigma \tau o\,\,P} \left( {SC} \right) = \left( {SD} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{OS \bot CD} \vartriangle OCD ισοσκελές και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1736
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισοσκελές από επαφή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μάιος 07, 2013 3:00 pm

Γεια χαρά.Ακόμη μια ιδέα

Θεωρούμε τις διαμέτρους \textrm{SAE,SBZ} των κύκλων \left ( A,AS \right ),\left ( B,BS \right ) αντίστοιχα.
\textrm{SO}\cap\textrm{EZ}=\textrm{H}. Είναι τότε, \textrm{SO=OH=OA=OB}\Rightarrow \textrm{SAHB} ορθογώνιο οπότε \textrm{AH}//\textrm{\textrm{SZ}} κι αφού \textrm{A} μέσον της \textrm{SE} θα είναι \textrm{H} μέσον της \textrm{EZ}.Επιπλέον \textrm{HS,EC,ZD}\perp \textrm{CD}\Rightarrow \textrm{HOS} διάμεσος του τραπεζίου \textrm{CEZD}\Rightarrow \textrm{OS} μεσοκάθετος της \textrm{CD} .Άρα το τρίγωνο \textrm{COD} είναι ισοσκελές.
Συνημμένα
2.png
2.png (20.16 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες