Αναλυτικά...γεωμετρική

erxmer · #1

Στο καρτεσιανό επίπεδο Oxy

θεωρούμε τα σημεία A(0,7), B(-5,-3), C(10,-3)

και τα ύψη AD, BE, CZ

του τριγώνου ABC

. Nα βρεθούν:

1) οι συντεταγμένες του ορθοκέντρου

και του βαρυκέντρου

2) να βρεθούν τα συμμετρικά σημεία του ορθοκέντρου τριγώνου ως προς τα μέσα των πλευρών του και να αποδειχθεί οτι είναι ομοκυκλικά

3) αν

το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου δείξτε οτι $\displaystyle{|\vec{HG}|=2|\vec{GO}|}$

4) η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το

και εφάπτεται στην

5) να αποδειχθεί οτι ο κύκλος αυτός είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο DEZ

Υγ να λυθεί με μεθόδους αναλυτικής γεωμετρίας....

Γιάννης Ι. · #2

1)Τα σημεία $B \& C$ ανήκουν στην ευθεία $(\epsilon): y=-3$ όπου $\epsilon // x'x$
Αφού $A\varepsilon y'y$ το ορθόκεντρο του τριγώνου θα ανήκει στον y'y

και θα έχει συντεταγμένες H(0,y)

$\displaystyle \overrightarrow { AH } \perp \overrightarrow { BC }\Leftrightarrow {\lambda}_{ \overrightarrow { AH } }{ \cdot \lambda }_{ \overrightarrow { BC } }=-1\Leftrightarrow \frac{-3-y}{-5}(\frac{-10}{10})=-1\Leftrightarrow y=2$
$\boxed {H(0,2)}$

Έστω G(x,y)

$\overrightarrow { GA } +\overrightarrow { GB } +\overrightarrow { GC } =\overrightarrow { 0 } \\ (-x,7-y)+(-5-x,-3-y)+(10-x,-3-y)=(0,0)$
Τελικά $\displaystyle \boxed {G(\frac { 5 }{ 3 } ,\frac { 1 }{ 3 })}$

2)Έστω τα μέσα L,N,M

των

αντίστοιχα
και τα συμμετρικά σημεία του

ως προς τα L,N,M

ότι είναι αντίστοιχα I,J,K

$\displaystyle \overrightarrow { HL } =\overrightarrow { LI } \\ (\frac { 5 }{ 2 } ,-5)=(x-\frac { 5 }{ 2 } ,y+3)$
$\boxed{I(5,-8)}$
Ομοίως $\boxed{J(10,2)}$ και $\boxed{K(-5,2)}$

Τα τρία σημεία είναι μη-συνευθειακά συνεπώς είναι και ομοκυκλικά.

Πιο αναλυτικά, έστω τα σημεία J,K

επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου (c)

$\displaystyle (c):{ (x-{ x }_{ 0 }) }^{ 2 }+{ (y-{ y }_{ 0 }) }^{ 2 }={ r }^{ 2 }\\$
Ισχύει λοιπόν πως
$\displaystyle\left\{\begin{array}{I}{ (-5-{ x }_{ 0 }) }^{ 2 }+{ (2-{ y }_{ 0 }) }^{ 2 }={ r }^{ 2 }\\ { (10-{ x }_{ 0 }) }^{ 2 }+{ (2-{ y }_{ 0 }) }^{ 2 }={ r }^{ 2 } \end{ array }\right$
$\Rightarrow { (-5-{ x }_{ 0 }) }^{ 2 }={ (10-{ x }_{ 0 }) }^{ 2 }$
άρα $\displaystyle \boxed{{x}_{0}=\frac { 5 }{ 2 }}$
$\displaystyle (c):{ (x-\frac { 5 }{ 2 }) }^{ 2 }+{ (y-{ y }_{ 0 }) }^{ 2 }={ r }^{ 2 }\\$
Εξετάζω και αν οι συντεταγμένες του

επαληθεύουν την παραμετρική εξίσωση του (c)

$\displaystyle { (5-\frac { 5 }{ 2 } ) }^{ 2 }+{ (-8-{ y }_{ 0 }) }^{ 2 }={ r }^{ 2 }\\ { (\frac { 5 }{ 2 } ) }^{ 2 }+{ (-8-{ y }_{ 0 }) }^{ 2 }={ (-5-\frac { 5 }{ 2 } ) }^{ 2 }+{ (2-{ y }_{ 0 }) }^{ 2 }\\ ...\\ \boxed{{ y }_{ 0 }=-\frac { 1 }{ 2 }}$
Συνεπώς το

επαληθεύει την εξίσωση του (c)

για ${ y }_{ 0 }=-\frac { 1 }{ 2 }$

3)Από το προηγούμενο ερώτημα $O(\frac { 5 }{ 2 },-\frac { 1 }{ 2 } )$

$\displaystyle \left| \overrightarrow { HG } \right| =2\left| \overrightarrow { GO } \right| \\ \sqrt { { (\frac { 5 }{ 3 } ) }^{ 2 }+{ (-\frac { 5 }{ 3 } ) }^{ 2 } } =2\sqrt { { (\frac { 5 }{ 3 } -\frac { 5 }{ 2 } ) }^{ 2 }+{ (\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 3 } ) }^{ 2 } } \\ 2{ (\frac { 5 }{ 3 } ) }^{ 2 }=4{ (\frac { 5 }{ 6 } ) }^{ 2 }$ που ισχύει

4) d(H,DE)=R

όπου

η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου με κέντρο το

H

ανήκει στην ευθεία με εξίσωση y=3x-3

$\displaystyle R=\frac { \left| 2\cdot 1+3 \right| }{ \sqrt { 10 } }$
Άρα η εξίσωση του ζητούμενου κύκλου είναι ${ x}^{ 2 }+{ (y-2) }^{ 2 }=2.5\\$
5) To τρίγωνο DEZ

είναι το ορθικό του ABC

συνεπώς ο κύκλος με κέντρο το ορθόκεντρο του ABC

που εφάπτεται σε μία πλευρά του DEZ

είναι εγγεγραμμένος στο DEZ

.

Πολύ πιο αναλυτικά, με επίλυση των συστημάτων των ευθειών ZD,DE,DZ

και της εξίσωσης του κύκλου προκύπτουν τρία μοναδικά ζεύγη λύσεων που αντιστοιχούν στα σημεία τομής των εφαπτόμενων ευθειών στον κύκλο. Συνεπώς ο κύκλος με κέντρο το

είναι εγγεγραμμένος στο DEZ

.

Αναλυτικά...γεωμετρική

Αναλυτικά...γεωμετρική

Re: Αναλυτικά...γεωμετρική

Μέλη σε σύνδεση