Όρια

john34516 · #1

θα χρειαζομουν τη βοηθεια σας σε αυτες τις ασκησεις

για τη λυση των ασκησεων πρεπει να χρησημοποιηθει ο ε-δ ορισμος του οριου

1)Δειξτε οτι αν υπαρχει το οριο lim f(x) τοτε αυτο ειναι μοναδικο
------------------------------------- x--x0

2)Αποδειξτε οτι lim f(x) = lim f(x0 + h)
------------------------ x--x0 h--0

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

Έστω $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } f(x) = l$
και $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } f(x) = m$
Για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε με
$0 < \left| {x - x_0 } \right| < \delta$ να είναι $\left| {f(x) - l} \right| < \frac{\varepsilon }{2}$
και αντίστοιχα $0 < \left| {x - x_0 } \right| < \delta$ να είναι $\left| {f(x) - m} \right| < \frac{\varepsilon }{2}$
Επομένως $\left| {l - m} \right| = \left| {l - f(x) + f(x) - m} \right| \le \left| {l - f(x)} \right| + \left| {f(x) - m} \right| < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon$ δηλ. το $\left| {l - m} \right|$
είναι μικρότερο από οποιοδήποτε θετικό αριθμό ε άρα πρέπει να είναι 0 δηλ. l = m

2) Έστω $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } f(x) = l$ τότε για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε με $0 < \left| {x - x_0 } \right| < \delta$ να είναι $\left| {f(x) - l} \right| < \varepsilon$
Θέτουμε x - x_0 = h

οπότε όταν $x \to x_0$ , $h \to 0$ επομένως
για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε με $0 < \left| {\left( {x_0 + h} \right) - x_0 } \right| < \delta$ να είναι $\left| {f(x_0 + h) - l} \right| < \varepsilon$
δηλ. $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(x_0 + h) = l$

Γιάννη ελπίζω να είναι εντάξει . Τα ε - δ με ζάλισαν λίγο

john34516 · #3

σε ευχαριστω για τις λυσεις. ομως γιατι στην 1 εβαλες <ε/2 και οχι του ε οπως ειναι και ο ορισμος του οριου??

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #4

Για να φαίνεται ο ορισμός στο τέλος . Αν θέλεις ξεκινάς με ε στην αρχή οπότε στο τέλος καταλήγεις < 2ε .

john34516 · #5

οκ σε ευχαριστω ξανα για την βοηθεια.

μια ακομη ασκηση
αυτο π σκεφτηκα ειναι σωστο ;
lim f(x) x--x0 = a lim g(x) x--x0 = b

lim f(x) + g(x) = a + b

αποδειξη:
γραφω τον ορισμου του οριου και για τα δυο..
μετα αν προσθεσω κατα μελη f(x)-a<e/2 και g(x)-b<e/2 τοτε εχω (f(x)+g(x))-(a+b)<e

ειναι σωστη σκεψη?

#6

Θέλει απόλυτα και μετά τριγωνική
όσο για δ πάρε $\displaystyle{\delta =Min[ \delta_1,\delta_2 ]}$

Όρια

Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Μέλη σε σύνδεση