Για ποιους θετικούς ακεραίους;

Παναγιώτης 1729 · #1

Μία ερώτηση που μου προέκυψε σήμερα και νομίζω είχε ενδιαφέρον είναι η εξής: Για ποιους θετικούς ακεραίους $n\geq{2}$ είναι το πολυώνυμο x^n+x+1

αναλύσιμο στο $\abb{Q}[x]$ ;

#2

Παναγιώτη μπλέξαμε με τα θηρία νομίζω. Δεν είναι καθόλου εύκολο αυτό το πρόβλημα και νομίζω δεν υπάρχει γνωστή "στοιχειώδης" λύση.
Για περισσότερες πληροφορίες παραπέμπω εδώ (σελ 289 Θεώρημα 1)
http://www.mscand.dk/article.php?id=1472

Παναγιώτης 1729 · #3

Είναι όντως δύσκολο. Μία απόδειξη που έκανα βασίζεται σε τεχνικές που είδα σε ένα παρόμοιο θέμα. Εμφανίζει αρκετές ομοιότητες με αυτήν στο λινκ σου. Νομίζω είναι στοιχειώδης.
http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... 86#p175386
Θα γίνει χρήση της άσκησης στον παραπάνω σύνδεσμο ως λήμμα.
Προφανώς n>2

.
Για

και

το

διαιρείται με το x^2+x+1

, άρα είναι αναλύσιμο (ενώ για n=2

όχι).
Αν ο

δεν είναι της παραπάνω μορφής, τότε από το λήμμα στο σύνδεσμο, αν z^n+z+1=0

, είναι $\displaystyle{2Re(z-\frac{1}{z})}\geq{\frac{1}{|z|^2}-1}$ .
Αν f(x)=x^n+x+1=g(x)h(x)

με $g,h\in{\abb{Z}[x]}$ και $1\leq{degg}<n$ , τότε έστω z_1,...,z_s

οι ρίζες του

.
Είναι $\displaystyle{(z_1-\frac{1}{z_1})+...+(z_s-\frac{1}{z_s})}>\frac{1}{|z_1|^2}+...+\frac{1}{|z_s|^2}-s\geq{0}$ , από την ανισότητα Α.Μ.-Γ.Μ. (είναι |z_1...z_s|=1

από τους τύπους Vieta). Άρα, το $\sum{(z_i-\frac{1}{z_i})}$ είναι μεγαλύτερο ή ίσο του

, διότι είναι ακέραιος. Ομοίως και για τις ρίζες του

.
Συνεπώς, αν z_1,...,z_n

οι ρίζες του

, τότε $z_1-\frac{1}{z_1}+...+z_n-\frac{1}{z_n}\geq{2}$ . Αυτό είναι άτοπο, αφού το άθροισμα αυτό ισούται με 1, από τους τύπους του Vieta.

Για ποιους θετικούς ακεραίους;

Για ποιους θετικούς ακεραίους;

Re: Για ποιους θετικούς ακεραίους;

Re: Για ποιους θετικούς ακεραίους;

Μέλη σε σύνδεση