Τμήμα που είναι άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων

Ιστοσελίδα · #1

Μία άσκηση που μου πρότεινε ο φυσικός του σχολείοιυ μου, Ν. Κοντογεωργάκος,
και λύσαμε μαζί.

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABC,

με $\hat{A}=90^{\circ}$ και

το ύψος του.

Φέρνουμε ευθεία $(\epsilon)$ που διέρχεται από το

.

Μετά φέρνουμε τις προβολές B_1,C_1

των κορυφών B,C

στην ευθεία $(\epsilon)$ αντίστοιχα.

Από τις κορυφές B,C

φέρνουμε παράλληλες προς τις B_1D , C_1D

αντίστοιχα που τέμνονται στο σημείο A_1

.

Να αποδείξετε ότι:

1) Αν τα B,C

βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η $(\epsilon)$ τότε AA_1=BB_1+CC_1 .

2) Αν τα

βρίσκονται στα διαφορετικά ημιεπίπεδα που ορίζει η $(\epsilon)$ τότε AA_1=|BB_1-CC_1}| .

kostas_zervos · #2

Για το α)

: ask61.png (16.97 KiB) Προβλήθηκε 400 φορές

Στο παραπάνω σχήμα εύκολα βλέπουμε ότι οι γωνίες $\theta$ είναι ίσες μεταξύ τους και οι γωνίες $\phi$ είναι ίσες μεταξύ τους (εντός εναλλάξ , εγγράψιμα τετράπλευρα , συμπληρωματικές) , άρα $B\hat{A}_1C=90^o$ .

Έτσι $\overset{\triangle}{A_1CB}\approx\overset{\triangle}{C_1CA}\approx\overset{\triangle}{B_1BA}$ , επομένως :
$\displaystyle \frac{A_1C}{BB_1}=\frac{BC}{AB} \iff A_1C\cdot AB=BB_1\cdot BC\;\;(1)$ και
$\displaystyle \frac{A_1B}{CC_1}=\frac{BC}{AC} \iff A_1B\cdot AC=CC_1\cdot BC\;\;(2)$ .

Από το Θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγράψιμο ABA_1C

έχουμε:

$AA_1\cdot BC=A_1B\cdot AC+A_1C\cdot AB \overset{(1)\;,\;(2)}{\iff}$
$\iff AA_1\cdot BC=B_1B\cdot BC+CC_1\cdot BC \iff$
$\iff AA_1=BB_1+CC_1$ .

#3

: Antoneas_1.png (28.29 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές

Καλημέρα σας

Δίνω ένα σχήμα που "μιλάει" και για μια ακόμη λύση .

Νίκος

Και μετά το σχολείο για να μην χρωστώ πολλά.

: Stranton_1.png (36.11 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές

Ας πούμε $S\,,\,T$ τα σημεία τομής των ${A_1}B\,,\,{A_1}C$ με την ευθεία $(\varepsilon )$ αντίστοιχα.
Το τετράπλευρο $ADC{C_1}$ έχει τις απέναντι γωνίες στα $D,{C_1}$ ορθές και άρα είναι εγγράψιμο , συνεπώς $\widehat \omega = {\widehat \omega _1}$ . Ομοίως $\widehat \phi = {\widehat \phi _1}$ . από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι και το τρίγωνο $D{B_1}{C_1}$ όμοιο με το ABC

άρα ορθογώνιο στο σημείο

.Τώρα όμως και το τρίγωνο ${A_1}ST$ ορθογώνιο στο ${A_1}$ γιατί είναι όμοιο , λόγω παραλληλίας πλευρών , με το $D{B_1}{C_1}$ . Το τετράπλευρο $AB{A_1}C$ έχει τώρα τις γωνίες στα $A,{A_1}$ ορθές συνεπώς είναι κι αυτό εγγράψιμο και έτσι $\boxed{\widehat \omega = \widehat \theta }\,\,(1)$ . Είναι όμως και ${\widehat \phi _1} = \widehat S$ ( $S{A_1}//{B_1}D$ ) . δηλαδή $\boxed{\widehat \phi = \widehat S}\,\,(2)$ . Αλλά $\widehat \omega + \widehat \phi = {90^0} \Rightarrow \boxed{\widehat S + \widehat \theta = {{90}^0}}$ . Δηλαδή $A{A_1} \bot ST$ .
Μετά από τα παραπάνω το μεν τετράπλευρο $A{B_1}DP$ είναι κι αυτό εγγράψιμο και εύκολα μετά τα τετράπλευρα : $A{B_1}BP$ ορθογώνιο και το $C{A_1}P{C_1}$ παραλληλόγραμμο οπότε $A{A_1} = AP + P{A_1} = B{B_1} + C{C_1}$ .

Για την δεύτερη περίπτωση ισχύουν παρεμφερή αλλά δίδω μόνο το σχήμα

: Stranton_2.png (40.46 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές

Φιλικά Νίκος

kostas_zervos · #4

Για το (β)

: ask62.png (10.69 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές

Με ανάλογο τρόπο από το παραπάνω σχήμα έχουμε:

$\overset{\triangle}{CA_1B}\approx \overset{\triangle}{CC_1A}\approx \overset{\triangle}{BB_1A}$ και από εδώ:

$CC_1\cdot CB=BA_1\cdot CA\;\;(1)$ και
$BB_1\cdot CB=CA_1\cdot BA\;\;(2)$ .

Από το Θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγράψιμο AA_1BC

έχουμε

$AA_1\cdot BC+BA_1\cdot AC=CA_1\cdot AB$ και αντικαθιστώντας από τις $(1)\;,\;(2)$ έχουμε :

AA_1=BB_1-CC_1

.

Αν η ευθεία περνούσε από το εσωτερικό της γωνίας $D\hat{A}B$ θα είχαμε AA_1=CC_1-BB_1

.

Άρα

Ιστοσελίδα · #5

Στο σχήμα φαίνονται οι ίσες γωνίες που δημιουργούνται από το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με το ύψος του AD ,

τα εγγράψιμα ADBB_1 , ADCC_1

και τις παράλληλες από τα B,C

προς τις

Έτσι έχουμε ότι οι γωνίες $A_1\widehat{A}B_1 , B\widehat{A}_1C$ είναι ορθές.

Το τετράπλευρο ABA_1C

είναι εγγράψιμο σε κύκλο, με κέντρο το μέσο

του

Παίρνουμε το μέσο

του

και φέρνουμε $MK\perp AA_1 .$

Το

είναι απόστημα της χορδής AA_1

άρα το

είναι μέσο του AA_1 .

Το

είναι ορθογώνιο, άρα AK=MN .

Για το α) Το

είναι διάμεσος του τραπεζίου BCC_1B_1

οπότε

Επομένως,

Για το β) Το

ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου BB_1CC_1

οπότε

Επομένως,

Τμήμα που είναι άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων

Τμήμα που είναι άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων

Re: Τμήμα που είναι άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων

Re: Τμήμα που είναι άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων

Re: Τμήμα που είναι άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων

Re: Τμήμα που είναι άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων

Μέλη σε σύνδεση