ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. α) Τι ονομάζεται καρτεσιανό γινόμενο δυο συνόλων;
β) Να αποδειχθεί η ισότητα $\displaystyle{A\times (B\cup \Gamma)=(A \times B) \cup (A \times \Gamma)}$

2. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου $\displaystyle{\sigma (x)}$ δια του πολυωνύμου $\displaystyle{(x-\alpha)(x-\beta)}$ όταν
α) $\displaystyle{\alpha\ne \beta}$
β) $\displaystyle{\alpha =\beta}$

3. Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{\sigma (x)=2\alpha x^2+\beta x +\gamma -\alpha}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta, \gamma}$ πραγματικοί , $\displaystyle{\alpha>0 \, ,\beta>0}$ και για κάθε $\displaystyle{x}$ του διαστήματος $\displaystyle{-1 \le x \le 1}$ ισχύει $\displaystyle{\sigma (x)\ge 0}$ .
Να δειχτεί οτι αν οι ρίζες του τριωνύμου $\displaystyle{\sigma (x)}$ είναι :
(i) συζυγείς μιγαδικοί ή
(ii) πραγματικές και ίσες, θα ισχύει $\displaystyle{\alpha -6\beta +8\gamma \ge 0}$
(iii) πραγματικές και άνισες , θα ισχύει $\displaystyle{\alpha -6\beta +8\gamma > 0}$
Για την απόδειξη της περίπτωσης (iii) αποδείξτε πρώτα οτι οι ρίζες $\displaystyle{\rho_1,\rho_2}$ της εξίσωσης $\displaystyle{\sigma (x)=0}$ ,
μπορούν να τεθούν στην μορφή $\displaystyle{\rho_1=-1-\varepsilon_1, \rho_2=-1-\varepsilon_2}$ όπου $\displaystyle{ \varepsilon_1, \varepsilon_2}$ είναι μη αρνητικοί.

kostas_zervos · #2

parmenides51 έγραψε:
2. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου $\displaystyle{\sigma (x)}$ δια του πολυωνύμου $\displaystyle{(x-\alpha)(x-\beta)}$ όταν
α) $\displaystyle{\alpha\ne \beta}$
β) $\displaystyle{\alpha =\beta}$

Το υπόλοιπο θα είναι της μορφής $\upsilon(x)=kx+m$ , αφού το $(x-\alpha)(x-\beta)$ είναι 2ου βαθμού.
Αν $\pi(x)$ το πηλίκο , τότε $\sigma(x)=(x-\alpha)(x-\beta)\pi(x)+kx+m\;(1)$ .

α)Αν $\alpha\neq \beta$ :
Για $x=\alpha$ και $x=\beta$ στην (1)

έχουμε :

$\begin{cases}k\alpha+m=\sigma(\alpha)\\k\beta+m=\sigma(\beta)\end{cases}$ και λύνοντας το σύστημα :

$k=\dfrac{\sigma(\alpha)-\sigma(\beta)}{\alpha-\beta}$ και $m=\dfrac{\alpha\sigma(\beta)-\beta\sigma(\alpha)}{\alpha-\beta}$ .

Άρα $\upsilon(x)=\dfrac{\sigma(\alpha)-\sigma(\beta)}{\alpha-\beta}x+\dfrac{\alpha\sigma(\beta)-\beta\sigma(\alpha)}{\alpha-\beta}$ .

β)Αν $\alpha=\beta$ , τότε $\sigma(x)=(x-\alpha)^2\pi(x)+kx+m\;(1)$ και $\sigma'(x)=2(x-\alpha)\pi(x)+(x-\alpha)^2\pi'(x)+k$ .
Για $x=\alpha:$ $\begin{cases}k\alpha+m=\sigma(\alpha)\\k=\sigma'(\alpha)\end{cases}$ και λύνοντας το σύστημα :

$k=\sigma'(\alpha)$ και $m=\sigma(\alpha)-\alpha\sigma'(\alpha)$ .

Άρα $\upsilon(x)=\sigma'(\alpha)x+\sigma(\alpha)-\alpha\sigma'(\alpha)$ .

#3

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{\sigma (x)=2\alpha x^2+\beta x +\gamma -\alpha}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta, \gamma}$ πραγματικοί , $\displaystyle{\alpha>0 \, ,\beta>0}$ και για κάθε $\displaystyle{x}$ του διαστήματος $\displaystyle{-1 \le x \le 1}$ ισχύει $\displaystyle{\sigma (x)\ge 0}$ .
Να δειχτεί οτι αν οι ρίζες του τριωνύμου $\displaystyle{\sigma (x)}$ είναι :
(i) συζυγείς μιγαδικοί ή
(ii) πραγματικές και ίσες, θα ισχύει $\displaystyle{\alpha -6\beta +8\gamma \ge 0}$
(iii) πραγματικές και άνισες , θα ισχύει $\displaystyle{\alpha -6\beta +8\gamma > 0}$
Για την απόδειξη της περίπτωσης (iii) αποδείξτε πρώτα οτι οι ρίζες $\displaystyle{\rho_1,\rho_2}$ της εξίσωσης $\displaystyle{\sigma (x)=0}$ ,
μπορούν να τεθούν στην μορφή $\displaystyle{\rho_1=-1-\varepsilon_1, \rho_2=-1-\varepsilon_2}$ όπου $\displaystyle{ \varepsilon_1, \varepsilon_2}$ είναι μη αρνητικοί.

i),ii)

Είναι $\displaystyle{\sigma(0)\geq 0\implies \gamma \geq \alpha>0 }$ και

$\displaystyle{\Delta \leq 0 \implies \beta^2\leq 8\alpha \gamma-8\alpha^2.}$

Αρκεί να είναι $\displaystyle{\alpha +8\gamma \geq 6\beta }$ ή $\displaystyle{(\alpha +8\gamma )^2\geq 36\beta^2 }$ ή $\displaystyle{(\alpha +8\gamma )^2\geq 36(8\alpha \gamma-8\alpha^2) }$ ή $\displaystyle{(17\alpha -8)^2\geq 0}$ που ισχύει.

iii)

Γράφουμε $\displaystyle{x_1+x_2=-\frac{\beta}{2\alpha}}$ και $\displaystyle{x_1x_2=\frac{\gamma-\alpha}{2\alpha}}$

οπότε έχουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle{(4x_1+3)(4x_2+3)>0.}$

Όμως, αφού οι ρίζες είναι διαφορετικές, θα ανήκουν και οι δυο είτε στο $\displaystyle{(-\infty,-1] }$ είτε στο $[1,+\infty)$
(αλλιώς θα είχαμε αλλαγή πρόσημου εκατέρωθεν της ρίζας, άτοπο λόγω του $\displaystyle{\sigma \geq 0, \ x\in[-1,1]}$ )
οπότε αφού $\displaystyle{x_1+x_2<0 }$ θα είναι $x_1,x_2\leq -1.$

Τελικά, έχουμε $\displaystyle{4x_1+3,4x_2+3\leq -1<0.}$

#4

parmenides51 έγραψε:1. α) Τι ονομάζεται καρτεσιανό γινόμενο δυο συνόλων;
β) Να αποδειχθεί η ισότητα $\displaystyle{A\times (B\cup \Gamma)=(A \times B) \cup (A \times \Gamma)}$

Θεωρία.

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση