Μιγαδικοί 11

mathxl · #1

Έχουμε δει παρόμοια (όποιος την γνωρίζει και θέλει να απαντήσει ας μην είναι λακωνικός)

11. Έστω οι μιγαδικοί ${z_1},{z_2},{z_3}$ που είναι τέτοιοι ώστε :
${{z_1} + {z_2} + {z_3} = 0}$ και $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1$ . Να αποδείξετε ότι
z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 0

.

#2

Ναι, Βασίλη. Σίγουρα την έχουμε ξαναδεί.

$\displaystyle{|z_1|=1\implies \bar{z}_1=\frac{1}{z_1}}$ και ανάλογες σχέσεις για τους $\displaystyle{z_2,z_3.}$

Τότε, $\displaystyle{z_1+z_2+z_3=0\implies \overline{z_1+z_2+z_3}=0\implies \frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}=0\implies z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=0.}$

Επομένως,

$\displaystyle{(z_1+z_2+z_3)^2=0 \implies z_1 ^2+z_2 ^2 +z_3 ^2+2(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)=0\implies z_1 ^2+z_2 ^2 +z_3 ^2=0.}$

mathxl · #3

Ευχαριστώ Θάνο (υποδειγματική η λύση).

mathxl · #4

Επαναφορά.
Ρετουσάρω την άσκηση με άλλα δύο ερωτήματα με τα ίδια δεδομένα αφού την βρήκα εμπλουτισμένη με αυτά τα τρία ερωτήματα.
ιι. δείξτε ότι $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_3}} \right| = \left| {{z_3} - {z_2}} \right|$
ιιι. $\left| {1 - \frac{{{z_3}}}{{{z_1}}}} \right| = \sqrt 3$

#5

...απαντώντας στο ρετουσάρισμα που θυμίζει το 3ο θέμα του 2006....

ii) Από ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0\Leftrightarrow {{z}_{1}}=-{{z}_{2}}-{{z}_{3}}$ οπότε αντικαθιστώντας στην ζητούμενη ισότητα αρκεί να δείξουμε ότι

$\left| -2{{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=\left| -{{z}_{2}}-2{{z}_{3}} \right|\Leftrightarrow \left| 2{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right|=\left| {{z}_{2}}+2{{z}_{3}} \right|$ ή

$\left( 2{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)\left( 2{{{\bar{z}}}_{2}}+{{{\bar{z}}}_{3}} \right)=\left( {{z}_{2}}+2{{z}_{3}} \right)\left( {{{\bar{z}}}_{2}}+2{{{\bar{z}}}_{3}} \right)$ ή

$4{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}+2{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{3}}+2{{\bar{z}}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{\bar{z}}_{3}}={{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}+2{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{3}}+2{{\bar{z}}_{2}}{{z}_{3}}+4{{z}_{3}}{{\bar{z}}_{3}}$

που προφανώς ισχύει αφού $\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=1$ . Όμοια και για την άλλη ισότητα.

iii) Αρκεί να δείξουμε ότι $\left| \frac{{{z}_{1}}-{{z}_{3}}}{{{z}_{1}}} \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right|}{\left| {{z}_{1}} \right|}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right|=\sqrt{3}$ (1)

Είναι τώρα ${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right|}^{2}}=\left( {{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right)\left( {{{\bar{z}}}_{1}}-{{{\bar{z}}}_{3}} \right)=2-({{z}_{1}}{{\bar{z}}_{3}}+{{\bar{z}}_{1}}{{z}_{3}})$ (2)

και επειδή από ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0\Leftrightarrow {{z}_{2}}=-{{z}_{1}}-{{z}_{3}}$ θα ισχύει

$\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{3}} \right|\Leftrightarrow 1={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{3}} \right|}^{2}}\Leftrightarrow 1=2+{{z}_{1}}{{\bar{z}}_{3}}+{{\bar{z}}_{1}}{{z}_{3}}\Leftrightarrow -1={{z}_{1}}{{\bar{z}}_{3}}+{{\bar{z}}_{1}}{{z}_{3}}$

επομένως από (2) θα ισχύει ότι ${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right|}^{2}}=3$ απ όπου προκύπτει η (1)

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

parmenides51 · #6

δώρο μια γεωμετρική ερμηνεία από τον μάγο Σεραφείμ

εδώ

Μιγαδικοί 11

Μιγαδικοί 11

Re: Μιγαδικοί 11

Re: Μιγαδικοί 11

Re: Μιγαδικοί 11

Re: Μιγαδικοί 11

Re: Μιγαδικοί 11

Μέλη σε σύνδεση