Μιγαδικοί 27

mathxl · #1

27.Έστω οι διαφορετικοί ανά δύο μιγαδικοί αριθμοί a,b,c

. Υποθέτουμε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός $\lambda$ ώστε $a + c - 2b = \lambda i\left( {a + b - 2c} \right)$ . Αποδείξτε ότι $\left| {b + c - 2a} \right| = 3\left| {b - c} \right|$ .
[G.M. 2/2011]

#2

mathxl έγραψε:27.Έστω οι διαφορετικοί ανά δύο μιγαδικοί αριθμοί . Υποθέτουμε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός $\lambda$ ώστε $a + c - 2b = \lambda i\left( {a + b - 2c} \right)$ . Αποδείξτε ότι $\left| {b + c - 2a} \right| = 3\left| {b - c} \right|$ .
[G.M. 2/2011]

Ωραίο ερώτημα για (μελλοντικές) πανελλήνιες εξετάσεις...
Κάνοντας τις πράξεις προκύπτει πως:

$\displaystyle{a = b\frac{{2 + \lambda i}}{{1 - \lambda i}} - c\frac{{1 + 2\lambda i}}{{1 - \lambda i}}}$

Οπότε:

$\displaystyle{b + c - 2a = b + c - 2b\frac{{2 + \lambda i}}{{1 - \lambda i}} + 2c\frac{{1 + 2\lambda i}}{{1 - \lambda i}} = ... = - b\frac{{3 + 3\lambda i}}{{1 - \lambda i}} + c\frac{{3 + 3\lambda i}}{{1 - \lambda i}} = 3\frac{{1 + \lambda i}}{{1 - \lambda i}}\left( { - b + c} \right)}$

Λαμβάνοντας μέτρα έχω:

$\displaystyle{\left| {b + c - 2a} \right| = 3\left| {\frac{{1 + \lambda i}}{{1 - \lambda i}}} \right|\left| { - b + c} \right| \Rightarrow \left| {b + c - 2a} \right| = 3\frac{{\sqrt {1 + {\lambda ^2}} }}{{\sqrt {1 + {\lambda ^2}} }}\left| {b - c} \right| = 3\left| {b - c} \right|}$ , όπως θέλαμε.

#3

mathxl έγραψε:27.Έστω οι διαφορετικοί ανά δύο μιγαδικοί αριθμοί .
Υποθέτουμε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός $\lambda$ ώστε $a + c - 2b = \lambda i\left( {a + b - 2c} \right)$ .
Αποδείξτε ότι $\left| {b + c - 2a} \right| = 3\left| {b - c} \right|$ .
[G.M. 2/2011]

...διαφορετικά

Έστω $a+c-2b=Z,\quad a+b-2c=W$ , τότε $Z=\lambda W i$

$Z+W=2a-b-c\Rightarrow |b+c-2a|=|Z+W|=|1+\lambda i||W|$

$W-Z=3(b-c)\Rightarrow 3|b-c|=|W-Z|=|1-\lambda i||W|$

Άρα $\left| {b + c - 2a} \right| = 3\left| {b - c} \right|$ .

Μιγαδικοί 27

Μιγαδικοί 27

Re: Μιγαδικοί 27

Re: Μιγαδικοί 27

Μέλη σε σύνδεση