mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 14, 2013 4:25 am**

Ξεκινάω μια παράλληλη δημοσίευση με τα θέματα των Διαγωνισμών της ΕΜΕ από το 1959 προς το 1980.
Τότε τα θέματα ήταν ένα από κάθε κατηγορία '' Άλγεβρα - Τριγωνομετρία - Στερεομετρία''.

1. α) Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \displaystyle \frac{x}{4}-y+3=0 \\ -4x-y+3=\mu \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{\mu}$ αλγεβρικός αριθμός.
β) Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\mu}$ οι $\displaystyle{x,y}$ είναι ομόσημοι;
γ) Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\mu}$ οι $\displaystyle{x,y}$ είναι ετερόσημοι;
δ) Να δοθεί η γραφική λύση του συστήματος για $\displaystyle{\mu=3}$

2. Να δειχθεί οτι για κάθε οξεία γωνία $\displaystyle{x}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{x-\eta\mu x <\varepsilon \phi x-x}$

3. Δίνεται στο επίπεδο $\displaystyle{E}$ τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ πλευράς $\displaystyle{\alpha}$ .
Πάνω στις κάθετες που άγονται από τα σημεία $\displaystyle{A,B,\Gamma,\Delta}$ προς το επίπεδο $\displaystyle{E}$ και στο ίδιο μέρος παίρνουμε $\displaystyle{(AA')=(BB') =3\lambda}$ και $\displaystyle{(\Gamma\Gamma ') =(\Delta\Delta ')=\lambda}$ .
α) Να δειχτεί οτι το $\displaystyle{A'B'\Gamma'\Delta'}$ είναι ορθογώνιο
β) Να βρεθεί ο όγκος του πολύεδρου $\displaystyle{AB\Gamma\DeltaA'B'\Gamma'\Delta' }$ συναρτήσει των $\displaystyle{\alpha,\lambda}$ .
γ) Να δειχτεί οτι το επίπεδο $\displaystyle{A'B'\Gamma'\Delta' }$ , καθώς μεταβάλλεται το $\displaystyle{\lambda}$ , τέμνει το επίπεδο $\displaystyle{E}$ κατά σταθερή ευθεία.

edit's
ευχαριστώ τον Διονύση (Σ. Διονύσης) για το τυπογραφικό που είδε
διόρθωση τίτλου (αφαίρεση λέξη αρρένων)

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 17, 2013 1:27 am**

parmenides51 έγραψε: 2. Να δειχθεί ότι για κάθε οξεία γωνία $\displaystyle{x}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{x-\eta\mu x <\varepsilon \phi x-x}$

Το θέμα σήμερα λύνεται σχετικά εύκολα με παραγώγους. Δεν ξέρω αν εκείνη τη εποχή υπήρχαν στα σχολικά βιβλία. Θα δώσω δύο λύσεις , μία χωρίς παραγώγους και μία με παραγώγους. Μάλλον τότε ζήταγαν την 1η.

Λύση χωρίς παραγώγους:

: ask112.png (17.29 KiB) Προβλήθηκε 1179 φορές

Στο παραπάνω σχήμα , το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου AME

(γαλάζιο) είναι ίσο με
$E_1=(OAE)-E_{\tau o\mu\varepsilon\alpha OAM}=\dfrac{OA\cdot AE}{2}-\dfrac{1}{2}OA^2\cdot x=\dfrac{ \varepsilon \phi x-x}{2}$ .

Το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που έχει χορδή την

(κίτρινο) είναι ίσο με
$E_2=E_{\tau o\mu\varepsilon\alpha OAM}-(OAM)=\dfrac{1}{2}OA^2\cdot x-\dfrac{OA\cdot MB}{2}=\dfrac{x-\eta\mu x}{2}$ .

Αν φέρουμε την εφαπτόμενη

τότε

, άρα $E_1>(EMK)=\dfrac{1}{2}(EK)\cdot (MH)>\dfrac{1}{2}(AK)\cdot(MH)=(MKA)>E_2$ .
Άρα $E_1>E_2 \iff \dfrac{ \varepsilon \phi x-x}{2}>\dfrac{x-\eta\mu x}{2} \iff \varepsilon \phi x-x>x-\eta\mu x$ .

Λύση με παραγώγους:

Έχουμε $x-\eta\mu x <\varepsilon \phi x-x\iff \varepsilon \phi x+\eta\mu x-2x>0$ .

Έστω $f(x)=\varepsilon \phi x+\eta\mu x-2x\;,\;x\in\left[0\;,\;\dfrac{\pi}{2}\right)$ .

Συνεχής και παραγωγίσιμη με

$f'(x)=\dfrac{1}{\sigma\upsilon\nu^2x}+\sigma\upsilon\nu x-2=\dfrac{\sigma\upsilon\nu^3x-2\sigma\upsilon\nu^2x+1}{\sigma\upsilon\nu^2x}=\dfrac{(\sigma\upsilon\nu-1)\left(\sigma\upsilon\nu^2x-\sigma\upsilon\nu x-1\right)}{\sigma\upsilon\nu^2x}=$

$=\dfrac{(\sigma\upsilon\nu-1)\left(\sigma\upsilon\nu x(\sigma\upsilon\nu x-1)-1\right)}{\sigma\upsilon\nu^2x}>0\;\forall x\in\left(0\;,\;\dfrac{\pi}{2}\right)$ αφού $\sigma\upsilon\nu x-1<0$ και $\sigma\upsilon\nu x>0$ , άρα $\sigma\upsilon\nu x(\sigma\upsilon\nu x-1)-1<0$ .

Επομένως είναι γνησίως αύξουσα στο $\left[0\;,\;\dfrac{\pi}{2}\right)$ και έτσι για $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ έχουμε $f(x)>f(0)\iff \varepsilon \phi x+\eta\mu x-2x>0$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 17, 2013 2:20 pm**

parmenides51 έγραψε: 1. α) Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \displaystyle \frac{x}{4}-y+3=0 \\ -4x-y+3=\mu \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{\mu}$ αλγεβρικός αριθμός.
β) Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\mu}$ οι $\displaystyle{x,y}$ είναι ομόσημοι;
γ) Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\mu}$ οι $\displaystyle{x,y}$ είναι ετερόσημοι;
δ) Να δοθεί η γραφική λύση του συστήματος για $\displaystyle{\mu=3}$

α) Αφαιρούμε τις δύο εξισώσεις και έχουμε : $\displaystyle{\frac{x}{4}+4x=-\mu\Leftrightarrow x=-\frac{4\mu}{17}}$

και με αντικατάσταση : $\displaystyle{-\frac{\mu}{17}-y+3=0\Leftrightarrow y=\frac{51-\mu}{17}}$

β) Oι $\displaystyle{x,y}$ είναι ομόσημοι αν και μόνο αν $\displaystyle{xy>0\Leftrightarrow -\frac{4\mu}{17}\cdot \frac{51-\mu}{17}>0\Leftrightarrow 4\mu(51-\mu)<0\Leftrightarrow \mu<0~\acute{\eta}~\mu>51 }$ .

γ) Oι $\displaystyle{x,y}$ είναι ετερόσημοι αν και μόνο αν $\displaystyle{xy<0\Leftrightarrow -\frac{4\mu}{17}\cdot \frac{51-\mu}{17}<0\Leftrightarrow 4\mu(51-\mu)>0\Leftrightarrow 0<\mu<51 }$ .

δ) Για $\displaystyle{\mu=3}$ oι εξισώσεις γράφονται : $\displaystyle{y=\frac{1}{4}x+3,~y=-4x}$ και παριστάνουν δύο ευθείες.

Το σημείο τομής τους έχει συντεταγμένες τη λύση $\displaystyle{(x,y)=\left(-\frac{12}{17},\frac{48}{17}\right)}$ του συστήματος.

Σημ : Περισσότερο γραφική ερμηνεία έδωσα, παρά λύση. Δε βλέπω πως μπορεί να προκύψει η λύση αυτή γραφικά...

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 07, 2026 10:47 am**

parmenides51 έγραψε: Κυρ Ιούλ 14, 2013 4:25 am Ξεκινάω μια παράλληλη δημοσίευση με τα θέματα των Διαγωνισμών της ΕΜΕ από το 1959 προς το 1980.
Τότε τα θέματα ήταν ένα από κάθε κατηγορία '' Άλγεβρα - Τριγωνομετρία - Στερεομετρία''.

3. Δίνεται στο επίπεδο $\displaystyle{E}$ τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ πλευράς $\displaystyle{\alpha}$ .
Πάνω στις κάθετες που άγονται από τα σημεία $\displaystyle{A,B,\Gamma,\Delta}$ προς το επίπεδο $\displaystyle{E}$ και στο ίδιο μέρος παίρνουμε $\displaystyle{(AA')=(BB') =3\lambda}$ και $\displaystyle{(\Gamma\Gamma ') =(\Delta\Delta ')=\lambda}$ .
α) Να δειχτεί οτι το $\displaystyle{A'B'\Gamma'\Delta'}$ είναι ορθογώνιο
β) Να βρεθεί ο όγκος του πολύεδρου $\displaystyle{AB\Gamma\DeltaA'B'\Gamma'\Delta' }$ συναρτήσει των $\displaystyle{\alpha,\lambda}$ .
γ) Να δειχτεί οτι το επίπεδο $\displaystyle{A'B'\Gamma'\Delta' }$ , καθώς μεταβάλλεται το $\displaystyle{\lambda}$ , τέμνει το επίπεδο $\displaystyle{E}$ κατά σταθερή ευθεία.
edit's
ευχαριστώ τον Διονύση (Σ. Διονύσης) για το τυπογραφικό που είδε
διόρθωση τίτλου (αφαίρεση λέξη αρρένων)

α) Τα τμήματα

A'B',\Gamma'\Delta'

είναι παράλληλα και ίσα με

Συνεπώς το

A'B'\Gamma'\Delta'

είναι παραλληλόγραμμο. Τα επίπεδα

A'B'BA, A'A\Delta\Delta'

είναι κάθετα. Άρα

B'A'\bot \Delta'A'.

Συνεπώς το παραλληλόγραμμο

A'B'\Gamma'\Delta'

είναι ορθογώνιο.

β) Το θέμα ζητά τον όγκο του στερεού

AB\Gamma \Delta A'B'\Gamma'\Delta'.

Πρόκειται για πρίσμα με βάση το τραπέζιο

A'A\Delta\Delta'

και ύψος το

BΑ=a.

To εμβαδόν του τραπεζίου

A'A\Delta\Delta'

είναι ίσο με

\left( A'A\Delta\Delta' \right)=\frac{AA'+\Delta\Delta'}{2}\cdot A\Delta=\frac{3 \lambda+ \lambda}{2}\cdot a=2 \lambda a

Συνεπώς ο ζητούμενος όγκος είναι ίσος με

\left( A'A\Delta\Delta' \right)\cdot BA=2 \lambda a\cdot a=2 a^{2} \lambda

γ) Έστω ότι η ευθεία $A'\Delta'$ τέμνει το επίπεδο

στο σημείο

Aπό την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων

AZA', \Delta Z\Delta'

προκύπτει ότι

\frac{ΖΑ}{ΑΑ'}=\frac{Z\Delta}{\Delta\Delta'}\Rightarrow \frac{Z\Delta+\Delta A}{3l}=\frac{Z\Delta}{l}\Rightarrow Z\Delta+a=3Z\Delta\Rightarrow Z\Delta=\frac{a}{2}

δηλαδή το

είναι σταθερό σημείο.

Έστω ότι η ευθεία $B'\Gamma'$ τέμνει το επίπεδο

στο σημείο

Aπό την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων

BPB', \Gamma P\Gamma'

προκύπτει ότι

\frac{PB}{BB'}=\frac{P \Gamma}{\Gamma \Gamma'}\Rightarrow \frac{P\Gamma+\Gamma B}{3l}=\frac{P\Gamma}{l}\Rightarrow P\Gamma+a=3P\Gamma\Rightarrow P\Gamma=\frac{a}{2}

δηλαδή το

είναι σταθερό σημείο.

Συνεπώς η ευθεία

είναι σταθερή και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 07, 2026 8:46 pm**

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Δευ Σεπ 07, 2026 10:47 am
parmenides51 έγραψε: Κυρ Ιούλ 14, 2013 4:25 am Ξεκινάω μια παράλληλη δημοσίευση με τα θέματα των Διαγωνισμών της ΕΜΕ από το 1959 προς το 1980.
Τότε τα θέματα ήταν ένα από κάθε κατηγορία '' Άλγεβρα - Τριγωνομετρία - Στερεομετρία''.

3. Δίνεται στο επίπεδο $\displaystyle{E}$ τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ πλευράς $\displaystyle{\alpha}$ .
Πάνω στις κάθετες που άγονται από τα σημεία $\displaystyle{A,B,\Gamma,\Delta}$ προς το επίπεδο $\displaystyle{E}$ και στο ίδιο μέρος παίρνουμε $\displaystyle{(AA')=(BB') =3\lambda}$ και $\displaystyle{(\Gamma\Gamma ') =(\Delta\Delta ')=\lambda}$ .
α) Να δειχτεί οτι το $\displaystyle{A'B'\Gamma'\Delta'}$ είναι ορθογώνιο
β) Να βρεθεί ο όγκος του πολύεδρου $\displaystyle{AB\Gamma\DeltaA'B'\Gamma'\Delta' }$ συναρτήσει των $\displaystyle{\alpha,\lambda}$ .
γ) Να δειχτεί οτι το επίπεδο $\displaystyle{A'B'\Gamma'\Delta' }$ , καθώς μεταβάλλεται το $\displaystyle{\lambda}$ , τέμνει το επίπεδο $\displaystyle{E}$ κατά σταθερή ευθεία.
edit's
ευχαριστώ τον Διονύση (Σ. Διονύσης) για το τυπογραφικό που είδε
διόρθωση τίτλου (αφαίρεση λέξη αρρένων)
α) Τα τμήματα $A'B',\Gamma'\Delta'$ είναι παράλληλα και ίσα με Συνεπώς το $A'B'\Gamma'\Delta'$ είναι παραλληλόγραμμο. Τα επίπεδα $A'B'BA, A'A\Delta\Delta'$ είναι κάθετα. Άρα $B'A'\bot \Delta'A'.$
Συνεπώς το παραλληλόγραμμο $A'B'\Gamma'\Delta'$ είναι ορθογώνιο.

β) Το θέμα ζητά τον όγκο του στερεού $AB\Gamma \Delta A'B'\Gamma'\Delta'.$
Πρόκειται για πρίσμα με βάση το τραπέζιο $A'A\Delta\Delta'$ και ύψος το $BΑ=a.$
To εμβαδόν του τραπεζίου $A'A\Delta\Delta'$ είναι ίσο με $\left( A'A\Delta\Delta' \right)=\frac{AA'+\Delta\Delta'}{2}\cdot A\Delta=\frac{3 \lambda+ \lambda}{2}\cdot a=2 \lambda a$
Συνεπώς ο ζητούμενος όγκος είναι ίσος με $\left( A'A\Delta\Delta' \right)\cdot BA=2 \lambda a\cdot a=2 a^{2} \lambda$

γ) Έστω ότι η ευθεία $A'\Delta'$ τέμνει το επίπεδο στο σημείο
Aπό την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $AZA', \Delta Z\Delta'$ προκύπτει ότι
$\frac{ΖΑ}{ΑΑ'}=\frac{Z\Delta}{\Delta\Delta'}\Rightarrow \frac{Z\Delta+\Delta A}{3l}=\frac{Z\Delta}{l}\Rightarrow Z\Delta+a=3Z\Delta\Rightarrow Z\Delta=\frac{a}{2}$
δηλαδή το είναι σταθερό σημείο.

Έστω ότι η ευθεία $B'\Gamma'$ τέμνει το επίπεδο στο σημείο
Aπό την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $BPB', \Gamma P\Gamma'$ προκύπτει ότι
$\frac{PB}{BB'}=\frac{P \Gamma}{\Gamma \Gamma'}\Rightarrow \frac{P\Gamma+\Gamma B}{3l}=\frac{P\Gamma}{l}\Rightarrow P\Gamma+a=3P\Gamma\Rightarrow P\Gamma=\frac{a}{2}$
δηλαδή το είναι σταθερό σημείο.

Συνεπώς η ευθεία είναι σταθερή και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Τηλέμαχε, Καλησπέρα από Γρεβενά ...

Αναρτώ το σχήμα της άσκησης αυτής καθώς

και το αντίστοιχο δυναμικό τα οποία έγιναν σε περιβάλλον

τριών διαστάσεων.

: Θέμα 1960.png (19.78 KiB) Προβλήθηκε 323 φορές

Το αντίστοιχο δυναμικό βρίσκεται στη διεύθυνση:

https://www.geogebra.org/m/tbcsysse

Κώστας Δόρτσιος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 07, 2026 11:02 pm**

Κώστα, το να γράψω ''ευχαριστώ'' είναι λίγο...
Το θέμα αποκτά άλλο νόημα με το σχήμα σου...
Μολονότι είσαι συνταξιούχος μαθηματικός είσαι μέσα στα Μαθηματικά, προσφέροντας πολύτιμη βοήθεια σε πολλούς από εμάς.
Τα όσα δίνεις τυγχάνουν εκτίμησης.

Το θέμα αυτό, το τόσο όμορφο, έχει μια μικρή ιστορία.
Στη σελίδα 102 του Δελτίου του Πάλλα 1959 υπάρχει το τρίτο θέμα Γεωμετρίας των εισαγωγικών εξετάσεων των Αρχιτεκτόνων Ε.Μ.Π. του 1959. Το θέμα ήταν το εξής:
Ἐπί ἐπιπέδου Ε δίδεται τετράγωνον ΑΒΓΔ πλευρᾱς α. Προς το αὐτό μέρος τοῡ ἐπιπέδου φέρομεν καθέτους ἐπί τό επίπεδον εἰς τά σημεῑα Α,Β,Γ,Δ καί λαμβάνομεν επ’ αὐτῶν ΑΑ’=ΒΒ’=3x καί ΓΓ’=ΔΔ’=x. Δείξατε ὃτι τό τετράπλευρον Α’Β’Γ’Δ’ εἶναι ὄρθογώνιον καί ὐπολογίσατε συναρτήσει τῶν α και x τόν ὄγκον τοῡ πολυέδρου ΑΒΓΔΑ΄Β΄Γ΄Δ΄. Δείξατε ἐπίσης ὃτι τό πολύεδρον τοῡτο ἔχει ἐπίπεδον συμμετρίας καί ὃτι ὄταν τό x μεταβάλλεται ἡ τομή τοῡ ἐπιπέδου E’ τοῡ ὄρθογωνίου A’B’Γ’Δ’ μετά τοῡ ἐπιπέδου Ε εἶναι εὐθεῑα σταθερά.
Τι συμπέρασμα προκύπτει; Ότι το θέμα του διαγωνισμού της Μαθηματικής Εταιρείας είναι αντιγραφή του θέματος των εισαγωγικών των Αρχιτεκτόνων Ε.Μ.Π. 1959. Τι γινόταν και τότε...

mathematica.gr

Π.Μ.Δ.Μ. 1959-60 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1959-60 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: ΠΜΔΜ 1959-60 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΑΡΡΕΝΩΝ

Re: ΠΜΔΜ 1959-60 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΑΡΡΕΝΩΝ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1959-60 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1959-60 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1959-60 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ