Βουλγάρικο Πρόβλημα 1

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία chris

Βουλγάρικο Πρόβλημα 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Τρί Ιούλ 16, 2013 6:32 pm

Πρόβλημα:

Να βρεθεί το πλήθος λύσεων του συστήματος:
\displaystyle \left(\Sigma \right): \begin{cases} x+y+z=3xy \\ x^2+y^2+z^2=3xz \\ x^3+y^3+z^3=3yz \end{cases}

Λύση:
\bullet Αν y=0 τότε είναι άμεσο πως x=z=0 και προκύπτει η λύση (x,y,z)=(0,0,0).
\bullet Αν y \neq 0 τότε θέτουμε: \displaystyle x=ay , z= by και το σύστημα γίνεται

\displaystyle \begin{cases} ay+y+by=3ay^2 \\ a^2y^2+y^2+b^2y^2=3aby^2 \\ a^3y^3+y^3+b^3y^3=3by^2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+b+1=3ay \\ a^2+b^2+1=3ab \\ y\left(a^3+b^3+1 \right) =3b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a^2+b^2+1=3ab \\ \left(a+b+1 \right)\left(a^3+b^3+1 \right)=9ab \end{cases}

Ωστόσο a^2+b^2=(a+b)^2-2ab και a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) επομένως θέτουμε και πάλι a+b=m,ab=n και το σύστημα γίνεται:
\displaystyle \begin{cases} \left(m+1 \right)\left(m^3-3mn+1 \right)=9n \\ m^2+1=5n \end{cases}

Αντικαθιστώντας το n στην 1η σχέση λαμβάνουμε:
\left(m+1 \right)\left(2m^3-3m+1 \right)=9m^2+9\Leftrightarrow \left(m-2 \right)\left(m^3+3m^2+1 \right)=0

(*): Η περίπτωση m=2 δίνει τη λύση (x,y,z)=(1,1,1).
(*): Από τη μελέτη της συνάρτησης f(m)=m^3+3m^2+1 προκύπτει ότι υπάρχει μοναδική πραγματική ρίζα x_0 \in (-4,-3) και έτσι το σύστημα: \displaystyle \left(a+b=x_0 , 5ab=x_0^2+1 \right) έχει 2 λύσεις αφού η διακρίνουσα του \displaystyle k^2-x_0k+\frac{x_0^2+1}{5}=0 είναι \displaystyle \frac{x_0^2-4}{5} και άρα θετική για x_0 \in (-4,-3). Συνεπώς έχουμε 2 λύσεις του αρχικού συστήματος σε αυτήν την περίπτωση.

Συνολικά λοιπόν έχουμε 4 λύσεις στους πραγματικούς.


Στραγάλης Χρήστος
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες