Ύπαρξη σταθεράς

Tolaso J Kos · #1

Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f, g:[0,1]\rightarrow [0, 1]}$ τέτοιες ώστε $f(g(x))=g(f(x))\, \, \, \, \, \, \forall x\in [0,1]$ με την

να είναι γνήσια φθίνουσα. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ακριβώς ένα $\displaystyle{c\in (0, 1)\mid f(c)=g(c) =c}$ .

Christos.N · #2

Θεωρούμε την συνάρτηση,

$\displaystyle{ h(x) = f(x) - x,\,x \in [0,1] }$

Η παραπάνω είναι γνησίως φθίνουσα -άρα και 1-1

στο πεδίο ορισμού της και ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano σε αυτό το διάστημα.

Συνεπώς υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{ c \in (0,1):\,h(c) = 0 \Rightarrow f(c) = c }$

Ο αριθμός $\displaystyle{ g(c) }$
ανήκει στο πεδίο ορισμού της

και ισχύει ότι : $\displaystyle{ f(g(c)) = g(f(c)) \Rightarrow f(g(c)) = g(c) }$

Παρατηρούμε όμως
$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} h(g(c)) = 0 \\ h(c) = 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow g(c) = c }$
Το οποίο είναι το ζητούμενο.

Makismath · #3

Για το δεύτερο:
Έστω g(c)>c

Τότε

Άτοπο.
Όμοια αν g(c)<c

. Άρα

Ύπαρξη σταθεράς

Ύπαρξη σταθεράς

Re: Ύπαρξη σταθεράς

Re: Ύπαρξη σταθεράς

Μέλη σε σύνδεση