Αποτελέσματα παραγοντοποίησης

Νίκος Αϊνστάιν · #1

Καλημέρα σε όλους!
Ανοίγω αυτό το θέμα (αν είναι σε λάθος forum παρακαλώ, αφού το τοποθετήσετε σε διαφορετικό forum, ενημερώστε με, διότι είμαι καινούργιος) γιατί έχω μια απορία σχετικά με την παραγοντοποίηση.
Έστω ότι θέλουμε να παραγοντοποιήσουμε μια αλγεβρική παράσταση. Ωστόσο, απαιτεί προσθαφαιρέσεις και διασπάσεις όρων και λύνεται με διαφορετικούς τρόπους. Η ερώτησή μου είναι: το αποτέλεσμα της παραγοντοποίησης θα είναι ίδιο με οποιοδήποτε τρόπο και αν επιλέξουμε;

#2

Aν βρεις κάποιο αποτέλεσμα σε μια παραγοντοποίηση με κάποιον τρόπο, και κάποιο άλλο αποτέλεσμα με άλλον τρόπο,

τότε θα υπάρχει τρόπος να πας από το ένα αποτέλεσμα στο άλλο.

Για παράδειγμα: Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: $\displaystyle{x^6 -1}$

ΛΥΣΗ

(Α) Με διαφορά τετραγώνων βρίσκω $\displaystyle{$ (x^3 -1)(x^3 +1)=(x-1)(x^2 +x+1)(x+1)(x^2 -x+1)} (B) Με διαφορά κύβων:

\displaystyle{(x^2 -1)(x^4 ++x^2 +1)=(x-1)(x+1)(x^4 +x^2+1)} Tα δύο αυτά αποτελέσματα, δεν είναι διαφορετικά, αφού:

\displaystyle{x^4 +x^2 +1=x^4 +2x^2 +1-x^2 =(x^2 +1)^2 -x^2 =(x^2 +x+1)(x^2 -x+1)}$

drs75 · #3

Ναί

#4

Καλησπέρα και καλώς ήρθες.

Όταν έχουμε ολοκληρώσει την παραγοντοποίηση το αποτέλεσμα θα είναι το ισοδύναμο, ανέξάρτητα του δρόμου που θα χρησιμοποιήσουμε.

Ένα απλό παράδειγμα.

Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση x^6-y^6

.

1o ξεκίνημα: Διαφορά τετραγώνων
$\displaystyle{x^6-y^6=(x^3-y^3)(x^3+y^3)=(x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2)}$ .

2o ξεκίνημα: Διαφορά κύβων
$\displaystyle{x^6-y^6=(x^2-y^2)(x^4+x^2y^2+y^4)=(x-y)(x+y)(x^4+2x^2y^2+y^4-x^2y^2)=}$

$\displaystyle{=(x-y)(x+y)((x^2+y^2)^2-(xy)^2)=(x-y)(x+y)(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)}$ .

Υ.Γ. Την ίδια σκέψη Δημήτρη ...

Νίκος Αϊνστάιν · #5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Aν βρεις κάποιο αποτέλεσμα σε μια παραγοντοποίηση με κάποιον τρόπο, και κάποιο άλλο αποτέλεσμα με άλλον τρόπο,

τότε θα υπάρχει τρόπος να πας από το ένα αποτέλεσμα στο άλλο.

Για παράδειγμα: Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: $\displaystyle{x^6 -1}$

ΛΥΣΗ

(Α) Με διαφορά τετραγώνων βρίσκω $\displaystyle{$ (x^3 -1)(x^3 +1)=(x-1)(x^2 +x+1)(x+1)(x^2 -x+1)}\displaystyle{(x^2 -1)(x^4 ++x^2 +1)=(x-1)(x+1)(x^4 +x^2+1)}\displaystyle{x^4 +x^2 +1=x^4 +2x^2 +1-x^2 =(x^2 +1)^2 -x^2 =(x^2 +x+1)(x^2 -x+1)} $</div></blockquote> <blockquote><div><cite>Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:</cite>Καλησπέρα και καλώς ήρθες. Όταν έχουμε ολοκληρώσει την παραγοντοποίηση το αποτέλεσμα θα είναι το ισοδύναμο, ανέξάρτητα του δρόμου που θα χρησιμοποιήσουμε. Ένα απλό παράδειγμα. Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση$ x^6-y^6\displaystyle{x^6-y^6=(x^3-y^3)(x^3+y^3)=(x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2)}\displaystyle{x^6-y^6=(x^2-y^2)(x^4+x^2y^2+y^4)=(x-y)(x+y)(x^4+2x^2y^2+y^4-x^2y^2)=}\displaystyle{=(x-y)(x+y)((x^2+y^2)^2-(xy)^2)=(x-y)(x+y)(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)}$.

Υ.Γ. Την ίδια σκέψη Δημήτρη ...

Κατάλαβα. Ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας. Αυτό θα με διευκολύνει σε αρκετά προβλήματα.

#6

$\bullet$ Στους ακέραιους αριθμούς υπάρχει η λεγόμενη ανάλυση με μοναδικό τρόπο κάθε (ακέραιου) αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Κάποιος σε αυτό το σημείο θα πει ότι $6=2\cdot 3$ και ταυτόχρονα $6=(-2)\cdot(-3)$ άρα πρόκειται για διαφορετικές παραγοντοποιήσεις. Οι παραγοντοποιήσεις αυτές δε θεωρούνται διαφορετικές με την έννοια ότι οι πρώτοι παράγοντες του

που είναι το

και το

είναι "συνεταιρικοί" (associated στα αγγλικά) με τους

και

αντίστοιχα. Δύο αριθμοί

και

ονομάζονται συνεταιρικοί όταν ο

διαιρεί το

και ο

διαιρεί το

.

$\bullet$ Μιλώντας με όρους ανώτερης άλγεβρας, ο δακτύλιος των ακεραίων είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης (Unique Factorization Domain - UFD) στον οποίο τα μόνα αντιστρέψιμα στοιχεία (units στα αγγλικά - αντιστρέψιμο λέμε το μη μηδενικό στοιχείο

του δακτυλίου που ο αντίστροφος $\dfrac{1}{a}$ ανήκει επίσης στον δακτύλιο) είναι οι αριθμοί

και

(σκεφτείτε: οι μόνοι ακέραιοι που ο αντίστροφός τους είναι επίσης ακέραιος είναι το

και το

. π.χ. στους πραγματικούς αριθμούς ο αντίστροφος οποιουδήποτε μη μηδενικού αριθμού είναι επίσης πραγματικός άρα τα αντιστρέψιμα στοιχεία είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από το 0).

$\bullet$ Δύο στοιχεία a,b

ενός δακτυλίου

λέγονται συνεταιρικά αν $a=u\cdot b$ όπου

αντιστρέψιμο στοιχείο του δακτυλίου και " $\cdot$ " o πολλαπλασιασμός του δακτυλίου.

$\bullet$ Ένας δακτύλιος λέγεται UFD όταν οποιοδήποτε μη μηδενικό στοιχείο που δεν είναι αντιστρέψιμο στοιχείο του δακτυλίου του γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γινόμενο δύο πρώτων στοιχείων (το αντίστοιχο του πρώτου αριθμού στους ακεραίους. Ένα στοιχείο ενός δακτυλίου $\mathfrak{p}$ ονομάζεται πρώτο όταν δε μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο δύο μη αντιστρέψιμων στοιχείων του δακτυλίου).

$\bullet$ Αποδεικνύεται ότι όταν ο δακτύλιος

είναι UFD τότε ο δακτύλιος των πολυωνύμων R[x]

είναι επίσης UFD.

Στην περίπτωσή μας επειδή το σύνολο $\mathbb{Z}$ των ακεραίων αριθμών είναι UFD άρα ο δακτύλιος των πολυωνύμων $\mathbb{Z}[x]$ (δηλαδή τα πολυώνυμα που έχουν συντελεστές ακεραίους) είναι UFD.

Επειδή τα μόνα αντιστρέψιμα στοιχεία του $\mathbb{Z}[x]$ είναι τα πολυώνυμα u_1(x)=1

και

άρα κάθε πολυώνυμο από το σύνολο $\mathbb{Z}[x]$ γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γινόμενο "πρώτων" πολυωνύμων. Έτσι π.χ. έχουμε

x^2-1=(x-1)(x+1)

και δε θεωρείται διαφορετική παραγοντοποίηση από την x^2-1=(1-x)(-1-x)

αφού τα πολυώνυμα x-1, 1-x

είναι "συνεταιρικά" όπως και τα x+1, -1-x

.

$\bullet$ Στο σχολείο όταν ο καθηγητής ζητάει την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου (φυσικά με ακέραιους άντε το πολύ ρητούς συντελεστές), εννοοεί την ανάλυσή του επίσης σε δύο πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές όπως έγινε παραπάνω. Γι' αυτό καλο είναι όταν γίνεται η εισαγωγή στην παραγοντοποίηση πολυωνύμων, ο καθηγητής να εξηγήσει τι εννοεί όταν λέει "να παραγοντοποιηθεί η παράσταση" με παραδείγματα.

$\bullet$ Όταν ο δακτύλιος είναι σώμα τότε επειδή δεν υπάρχουν πρώτα στοιχεία, τότε είναι αυτόματα UFD. Άρα αν αναφερόμασταν στο $\mathbb{R}[x]$ θα μπορούσαμε π.χ. να γράψουμε

$x^2-1=\dfrac{1}{5}(5x^2-5)=(x^4-1)\cdot \dfrac{1}{x^2+1}$ οι οποίες είναι δεν είναι διαφορετικές παραγοντοποιήσεις καθώς οποιαδήποτε δύο μη μηδενικά στοιχεία a,b

ενός σώματος είναι συνεταιρικά αφού $a= \dfrac{a}{b} \cdot b$ (ο αντίστροφος ενός αριθμού ανήκει πάντοτε μέσα στο σώμα). Αυτός είναι και ο λόγος που τα παιδιά μπερδεύονται όταν στο γυμνάσιο για πρώτη φορά τους μιλήσουμε για το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολυωνύμων κτλ κτλ.

Το πρόβλημα έχει τις ρίζες του στην βαθιά κατανόηση των εννοιών της ανώτερης άλγεβρας και στο να δώσουμε στα παιδιά να καταλάβουν ότι μιλάμε πάντα για παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές σε γινόμενο πολυωνύμων που επίσης έχουν ακέραιους συντελεστές. Το δύσκολο είναι βέβαια να μπορούμε μετά από την πρώτη παραγοντοποίηση να δούμε αν οι παράγοντες του πολυωνύμου ξαναπαραγοντοποιούνται ή όχι (αν είναι δηλαδή πρώτα στοιχεία του δακτυλίου).

Λόγω της μονοσήμαντης ανάλυσης ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (δηλαδή πολυωνύμων που δεν μπορούν να παραγοντοποιηθούν περαιτέρω εκτός αν πρόκειται για γινόμενο του παράγοντα με το

ή το

) η παραγοντοποίηση του x^6-1

ως

δεν είναι πλήρης με την έννοια ότι τα πολυώνυμα - παράγοντες x^3-1, x^3+1

δεν είναι πρώτοι παράγοντες (ξαναπαραγοντοποιούνται). Όταν πλέον γράψουμε x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)

τότε έχουμε πλέον παραγοντοποιήσει πλήρως το αρχικό πολυώνυμο διότι καθένας είναι πρώτος παράγοντας. Φυσικά η παραγοντοποίηση x^6-1=(1-x)(x+1)(x-x^2-1)(x^2+x+1)

δεν είναι διαφορετικοί αφού οι παράγοντες της "πρώτης" παραγοντοποίησης είναι συνεταιρικοί με εκείνους της δεύτερης και αποκλείεται να βρούμε διαφορετική παραγοντοποίηση εκτός της αρχικής αφού ο δακτύλιος είναι UFD.

Τέλος, ας δούμε και κάποιον δακτύλιο που δεν είναι UFD. Το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι αυτό του δακτυλίου $\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]$ που περιέχει τους αριθμούς της μορφής $a+i\sqrt{5}b$ όπου $a,b\in\mathbb{Z}$ . Τα μόνα αντιστρέψιμα στοιχεία του δακτυλίου είναι οι αριθμοί

και

. Έτσι $6=2\cdot 3$ και $6=(1+i\sqrt{5})(1-i\sqrt{5})$ και κανένας από τους 2, 3

δεν είναι συνεταιρικός με κάποιον από τους $1+i\sqrt{5}, 1-i\sqrt{5}$ .

Ελπίζω κάπως να βοήθησαν τα παραπάνω...

Αλέξανδρος

#7

Μετά τα πολύ ωραία που ανέλυσε ο Αλέξανδρος παραπάνω, αξίζει ένα σχόλιο το οποίο αν και απλό, είναι εκτός σχολικής ύλης.

Θα αναρωτιόταν κανείς τι γίνεται σε άλλες περιπτώσεις πέρα από το $\mathbb Z[x]$ .

Τα αποτελέσματα δεν ισχύουν και μάλιστα ηχούν περίεργα σε όποιον μένει στα $\mathbb Z[x], \mathbb Q[x], \mathbb R[x], \mathbb C[x]$ που μελετάμε στο Σχολείο.

Ας δούμε στη περίπτωση του $\mathbb Z _{12}[x]$ , όπου οι πράξεις γίνονται μόντουλο

, το πολυώνυμο p(x)=x^2+8

. Εδώ έχουμε τις εξής δύο διαφορετικές παραγοντοποιήσεις

x^2+8 = (x-2)(x-10)=(x-4)(x-8)

Πράγματι,

και $(x-4)(x-8)= x^2 -12x + 32 = x^2 + 0x+ (2\cdot 12 + 8)=x^2 +8 =p(x)$ .

Δηλαδή εδώ έχουμε το φαινόμενο που έθιξε ο owneriekno1 στο αρχικό ποστ.

Αξίζει να προσθέσω ότι το παραπάνω δευτεροβάθμιο πολυώνυμο

(πάντα στο $\mathbb Z _{12}$ συζητάμε) έχει τέσσερις ρίζες, τις $2, \, 4, \, 8, \, 10$ . Αυτό φαίνεται από τα παραπάνω, αλλά ας κάνω ανεξάρτητο έλεγχο:

$2^2+8=12=0, \, 4^2+8= 24=0, \, 8^2+8= 72=0, \, 10^2+8= 108= 9\cdot 12 = 0$

Άκριτα σκεπτόμενος κάποιος, από κεκτημένη ταχύτητα από τα $\mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C$ , θα νόμιζε ότι έχει το πολύ δύο ρίζες. Εεεεεεμ! Γι' αυτό τα θέματα αυτά τα έχει κάνει αντικείμενο μελέτης η Θεωρία Δακτυλίων.

Φιλικά,

Μιχάλης

Theoxaris Malamidis · #8

κ. Μιχάλη τι σημαίνει μόντουλο $\displaystyle 12$ ;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων

Νίκος Αϊνστάιν · #9

Επειδή είμαι μαθητής της Β΄ Γυμνασίου, μπορείτε να με βοηθήσετε ώστε να κατανοήσω την παραγοντοποίηση; Επίσης, υπάρχει τρόπος να εν ταχθώ γρήγορα στο πνεύμα των διαγωνισμών; Εγώ είμαι διατεθειμένος να κάνω ότι μου πείτε.

Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων,
Νίκος

#10

Theoxaris Malamidis έγραψε:κ. Μιχάλη τι σημαίνει μόντουλο $\displaystyle 12$ ;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων

Μια ιδέα στο link ακολούθως:

http://eisatopon.blogspot.gr/2012/06/blog-post_800.html

#11

owneriekno1 έγραψε:Επειδή είμαι μαθητής της Β΄ Γυμνασίου, μπορείτε να με βοηθήσετε ώστε να κατανοήσω την παραγοντοποίηση; Επίσης, υπάρχει τρόπος να εν ταχθώ γρήγορα στο πνεύμα των διαγωνισμών; Εγώ είμαι διατεθειμένος να κάνω ότι μου πείτε.

Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων,
Νίκος

Για παραγοντοποίηση δες εδώ: http://62gym-athin.att.sch.gr/algeb_c_k1/1_6.pdf.

Για τους διαγωνισμούς ας μιλήσει κάποιος άλλος, διότι δεν ασχολούμαι.

Theoxaris Malamidis · #12

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Theoxaris Malamidis έγραψε:κ. Μιχάλη τι σημαίνει μόντουλο $\displaystyle 12$ ;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων

Μια ιδέα στο link ακολούθως:

http://eisatopon.blogspot.gr/2012/06/blog-post_800.html

Ευχαριστώ κ.Λευτέρη.

Αποτελέσματα παραγοντοποίησης

Αποτελέσματα παραγοντοποίησης

Re: Αποτελέσματα παραγοντοποίησης

Re: Αποτελέσματα παραγοντοποίησης

Re: Αποτελέσματα παραγοντοποίησης

Re: Αποτελέσματα παραγοντοποίησης

Re: Αποτελέσματα παραγοντοποίησης

Re: Αποτελέσματα παραγοντοποίησης

Re: Αποτελέσματα παραγοντοποίησης

Re: Αποτελέσματα παραγοντοποίησης

Re: Αποτελέσματα παραγοντοποίησης

Re: Αποτελέσματα παραγοντοποίησης

Re: Αποτελέσματα παραγοντοποίησης

Μέλη σε σύνδεση