μέγιστα και ελάχιστα

despoinamav · #1

Για την επίλυση της παρακάτω άσκησης,οφείλω να κάνω χρήση της Εσσιανής ;όπου ζητείατι η εύρεση της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής της $h\left<x,y \right>=x^{2}+y^{2}$ με τη δέσμευση ότι $g\left<x,y \right>=x^{2}+y^{2}-xy-1=0$ όπου x,y

είναι πραγματικοί.

#2

despoinamav έγραψε:Για την επίλυση της παρακάτω άσκησης,οφείλω να κάνω χρήση της Εσσιανής ;όπου ζητείατι η εύρεση της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής της $h\left<x,y \right>=x^{2}+y^{2}$ με τη δέσμευση ότι $g\left<x,y \right>=x^{2}+y^{2}-xy-1=0$ όπου είναι πραγματικοί.

Αγαπητή Δέσποινα, η άσκηση που προτείνεις αντιμετωπίζεται με τους πολλαπλασιαστές Lagrange. Σε όλα τα βιβλία διαφορικού λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών βρίσκει κανείς τη σχετική θεωρία και πληθώρα παραδειγμάτων. Ως εκ τούτου, κρίνω σκόπιμο να μην παραθέσω τη λύση αυτή, αλλά μια στοιχειώδη, κατανοητή ακόμα και σε μαθητές γυμνασίου.

Είναι

$\displaystyle{1+xy=x^2+y^2\geq 2xy\implies xy\leq 1.}$

Άρα

$\displaystyle{x^2+y^2=1+xy\leq 2}$ και ισχύει $\displaystyle{x^2+y^2=2}$ π.χ. για $\displaystyle{x=y=1.}$

Άρα $\displaystyle{\max (x^2+y^2)=2.}$

Επίσης, παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{0\leq (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=1+3xy\implies xy\geq -\frac{1}{3}.}$

Άρα

$\displaystyle{x^2+y^2=1+xy\geq 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}$ και η ισότητα ισχύει π.χ. για $\displaystyle{x=-y=\frac{1}{\sqrt{3}}.}$

Άρα $\displaystyle{\min (x^2+y^2)=\frac{2}{3}.}$

$\displaystyle{\rule{400pt}{2pt}}$

Περιμένουμε τη λύση σου με χρήση διαφορικού λογισμού! Αν συναντήσεις δυσκολίες, εμείς εδώ είμαστε.

Θάνος.

despoinamav · #3

Ξέρουμε ότι η ανάδελτα της $h\left(x,y \right)$ είναι ίση με την ανάδελτα της $lg\left<x,y \right>$
οπότε προκύπτει απ'αυτή τη σχέση ότι $x=\left<-ly \right>\div \left<2-2l \right>$
και $y=\left(-lx \right)\div \left(2-2l \right)$ για $l\neq 1$ και

είναι πραγματικός
με την κατάλληλη αντικατάσταση στην σχέση του

από την σχέση του

έχουμε ότι y=0

και

και $l=2\div 3$ .
Το y=0

απορρίπτεται διότι δεν ανήκει στην $g\left(x,y \right)$ ,για l=2

έχουμε ότι x=y

και με αντικατάσταση στην $g\left(x,y \right)=0$ παίρνουμε δυο σημεία τα $A\left(1,1 \right)$ και το $B\left(0,0 \right)$ και σε αντιστοιχία γίνεται και για την άλλη τιμή του

. Τέλος αντικαθιστούμε στην $h\left(x,y \right)$ τις τιμές που βρήκαμε και βρίσκουμε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της.

μέγιστα και ελάχιστα

μέγιστα και ελάχιστα

Re: μέγιστα και ελάχιστα

Re: μέγιστα και ελάχιστα

Μέλη σε σύνδεση