Μιγαδικοί

Tolaso J Kos · #1

Ένα ενδιαφέρον θέμα πάνω στους μιγαδικούς
Δίδονται οι μιγαδικοί $\displaystyle{z_1, z_2\in \mathbb{C}^*}$ ώστε να ικανοποιούν τη σχέση $\displaystyle{\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_1}=1\, \, \, \, \, (1)}$

α)Να δείξετε ότι $\left | z_1 \right |=\left | z_2 \right |$ .
β)Να δείξετε ότι $\displaystyle{\left ( \frac{z_1}{z_2} \right )^{2010}+\left ( \frac{z_2}{z_1} \right )^{2010}=2}$
γ)Να δείξετε ότι $\displaystyle{\left ( \frac{z_1}{z_2} \right )^{2012}+\left ( \frac{z_2}{z_1} \right )^{2012}=-1}$

kochris · #2

Θεωρώ την εξίσωση $x + \frac{1}{x} =1$ για την οποία ισχύει |z_0|=|z_0'|=1

άρα αφού το $\frac{z_1}{z_2}$ ικανοποιεί την εξίσωση θα ισχύει $|\frac{z_1}{z_2}|=1 \rightarrow |z_1|= |z_2|$

alexandropoulos · #3

Α. Η εξίσωση (1) ισοδύναμα γράφεται z_1^2 - z_1 z_2 + z_2^2 = 0

.Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με το z_1 + z_2

προκύπτει $z_1^3 + z_2^3 = 0 \Leftrightarrow z_1^3 = - z_2^3 \Rightarrow \left| {z_1^3 } \right| = \left| { - z_2^3 } \right| \Leftrightarrow \left| {z_1 } \right| = \left| {z_2 } \right|$

Είναι $\left( {\frac{{z_1 }} {{z_2 }}} \right)^3 = \left( {\frac{{z_2 }} {{z_1 }}} \right)^3 = - 1$
. Οπότε
Β. $\left( {\frac{{z_1 }} {{z_2 }}} \right)^{2010} + \left( {\frac{{z_2 }} {{z_1 }}} \right)^{2010} = \left( {\frac{{z_1 }} {{z_2 }}} \right)^{3 \cdot 670} + \left( {\frac{{z_2 }} {{z_1 }}} \right)^{3 \cdot 670} = \left( { - 1} \right)^{670} + \left( { - 1} \right)^{670} = 2$

Γ. $\left( {\frac{{z_1 }} {{z_2 }}} \right)^{2012} + \left( {\frac{{z_2 }} {{z_1 }}} \right)^{2012} = \left( {\frac{{z_1 }} {{z_2 }}} \right)^{3 \cdot 670 + 2} + \left( {\frac{{z_2 }} {{z_1 }}} \right)^{3 \cdot 670 + 2} = \left( { - 1} \right)^{670} \frac{{z_1^2 }} {{z_2^2 }} + \left( { - 1} \right)^{670} \frac{{z_2^2 }} {{z_1^2 }} =$

$= \left( {\frac{{z_1 }} {{z_2 }} + \frac{{z_2 }} {{z_1 }}} \right)^2 - 2\frac{{z_2 }} {{z_1 }}\frac{{z_1 }} {{z_2 }} = 1 - 2 = - 1$

alexandropoulos · #4

Tolaso J Kos έγραψε:Ένα ενδιαφέρον θέμα πάνω στους μιγαδικούς
Δίδονται οι μιγαδικοί $\displaystyle{z_1, z_2\in \mathbb{C}^*}$ ώστε να ικανοποιούν τη σχέση $\displaystyle{\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_1}=1\, \, \, \, \, (1)}$

α)Να δείξετε ότι $\left | z_1 \right |=\left | z_2 \right |$ .
β)Να δείξετε ότι $\displaystyle{\left ( \frac{z_1}{z_2} \right )^{2010}+\left ( \frac{z_2}{z_1} \right )^{2010}=2}$
γ)Να δείξετε ότι $\displaystyle{\left ( \frac{z_1}{z_2} \right )^{2012}+\left ( \frac{z_2}{z_1} \right )^{2012}=-1}$

Επιτρέψτε μου να θέσω ένα ακόμη ερώτημα.
δ) Η αρχή των αξόνων και οι εικόνες των $\displaystyle{z_1, z_2\in \mathbb{C}^*}$ σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο

kochris · #5

Ας δωσουμε μια λύση και στο (δ) αφού δεν πρόλαβα..

γνωρίζουμε ήδη οτι |z_1|=|z_2|

αρκεί
νδο |z_1|=|z_2|=|z_1-z_2|

,

έχουμε $|z_1-z_2|=\frac{|z_1-z_2|}{|z_1|}|z_2| =|1-\frac{z_2}{z_1}|z_2| = \frac{|z_1|}{|z_2|}|z_2| = |z_1|$ ο.ε.δ.

edit αντικετέστησα τα $\rightarrow$ με

.

Μιγαδικοί

Μιγαδικοί

Re: Μιγαδικοί

Re: Μιγαδικοί

Re: Μιγαδικοί

Re: Μιγαδικοί

Μέλη σε σύνδεση