Κι όμως λύνεται με συνάρτηση ...

#1

Μου την έδωσε ένας μαθητής το πρωί.

Αν $a\gamma+\beta \gamma +\gamma^2<0$ με $a \neq 0$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\beta^2>4a\gamma}$ .

Δεκτές λύσεις και εκτός φακέλου.

KARKAR · #2

Αν ήταν $\displaystyle\frac{\beta ^2}{4}\leq \alpha \gamma$ , τότε θα είχα : $\displaystyle\frac{\beta ^2}{4}+\beta \gamma +\gamma ^2<0\Leftrightarrow\left(\frac{\beta }{2}+ \gamma \right)^2<0$ , άτοπο .

gian7 · #3

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Μου την έδωσε ένας μαθητής το πρωί.

Αν $a\gamma+\beta \gamma +\gamma^2<0$ με $a \neq 0$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\beta^2>4a\gamma}$ .

Δεκτές λύσεις και εκτός φακέλου.

'Εστω $\displaystyle{f,f(x)=ax^2 + bx + c, a\neq 0}$ . Eίναι $\displaystyle{f(1)=a + b + c}$ και $\displaystyle{f(0)=c}$ . Aπό υπόθεση $\displaystyle{f(1)f(0)<0}$ . Aρα από Βοlzano παίρνουμε ότι η $\displaystyle{f}$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο $\displaystyle{(0,1)}$ άρα $\displaystyle{\Delta> 0\Rightarrow \boxed{b^2>4ac}}$ .

Εdit:Διορθώθηκε το $\displaystyle{"="}$ που είχε μπει στο $\displaystyle{\Delta}$ (βλ.παρακάτω)

kostas_zervos · #4

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Μου την έδωσε ένας μαθητής το πρωί.

Αν $a\gamma+\beta \gamma +\gamma^2<0$ με $a \neq 0$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\beta^2>4a\gamma}$ .

Δεκτές λύσεις και εκτός φακέλου.

Έστω το τριώνυμο $f(x)=x^2+\beta x+\alpha\gamma$ , τότε $f(\gamma)<0$ .

Δεν μπορεί να είναι $\Delta\leq 0$ , γιατί τότε θα είχαμε $f(x)\geq 0$ για κάθε $x\in\Bbb{R}$ .

Άρα $\Delta>0\iff \beta^2>4a\gamma$ .

#5

gian7 έγραψε:
Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Μου την έδωσε ένας μαθητής το πρωί.

Αν $a\gamma+\beta \gamma +\gamma^2<0$ με $a \neq 0$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\beta^2>4a\gamma}$ .

Δεκτές λύσεις και εκτός φακέλου.
'Εστω $\displaystyle{f,f(x)=ax^2 + bx + c, a\neq 0}$ . Eίναι $\displaystyle{f(1)=a + b + c}$ και $\displaystyle{f(0)=c}$ . Aπό υπόθεση $\displaystyle{f(1)f(0)<0}$ . Aρα από Βοlzano παίρνουμε ότι η $\displaystyle{f}$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο $\displaystyle{(0,1)}$ άρα $\displaystyle{\Delta \geq 0\Rightarrow b^2\geq 4ac}$ . Mηπως λείπει το $\displaystyle{"="}$ ή χάνω κάτι?
Εdit:Διορθώθηκε τυπογραφικό

Γιάννη πρόσεξε!!!

Μια τουλάχιστον ρίζα στο τριώνυμο σημαίνει $\Delta \geq 0$ .

kostas_zervos · #6

gian7 έγραψε:
Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Μου την έδωσε ένας μαθητής το πρωί.

Αν $a\gamma+\beta \gamma +\gamma^2<0$ με $a \neq 0$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\beta^2>4a\gamma}$ .

Δεκτές λύσεις και εκτός φακέλου.
'Εστω $\displaystyle{f,f(x)=ax^2 + bx + c, a\neq 0}$ . Eίναι $\displaystyle{f(1)=a + b + c}$ και $\displaystyle{f(0)=c}$ . Aπό υπόθεση $\displaystyle{f(1)f(0)<0}$ . Aρα από Βοlzano παίρνουμε ότι η $\displaystyle{f}$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο $\displaystyle{(0,1)}$ άρα $\displaystyle{\Delta \geq 0\Rightarrow b^2\geq 4ac}$ . Mηπως λείπει το $\displaystyle{"="}$ ή χάνω κάτι?
Εdit:Διορθώθηκε τυπογραφικό

Αν ήταν $\Delta=0$ , τότε θα είχαμε $f(x)\geq 0$ ή $f(x)\leq 0$ για κάθε $x\in\Bbb{R}$ ....

gian7 · #7

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε: Γιάννη πρόσεξε!!!

Μια τουλάχιστον ρίζα στο τριώνυμο σημαίνει $\Delta \geq 0$ .

kostas_zervos έγραψε:
gian7 έγραψε: Αν $a\gamma+\beta \gamma +\gamma^2<0$ με $a \neq 0$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\beta^2>4a\gamma}$ .

Αν ήταν $\Delta=0$ , τότε θα είχαμε $f(x)\geq 0$ ή $f(x)\leq 0$ για κάθε $x\in\Bbb{R}$ ....

Ευχαριστώ πολύ, κατάλαβα!

abgd · #8

Η λύση του gian7 μπορεί να διορθωθεί και ως εξής:

Αν $\displaystyle b^2=4ac$ τότε $\displaystyle ac+bc+c^2=\frac{b^2}{4}+bc+c^2=\left(\frac{b}{2}+c\right)^2 \geq 0$ το οποίο είναι αδύνατο.

ή

Να δείξουμε ότι η συνάρτηση έχει και δεύτερη ρίζα στο $\displaystyle (-\infty,0)$ ή στο $\displaystyle (1,+\infty)$

Κι όμως λύνεται με συνάρτηση ...

Κι όμως λύνεται με συνάρτηση ...

Re: Κι όμως λύνεται με συνάρτηση ...

Re: Κι όμως λύνεται με συνάρτηση ...

Re: Κι όμως λύνεται με συνάρτηση ...

Re: Κι όμως λύνεται με συνάρτηση ...

Re: Κι όμως λύνεται με συνάρτηση ...

Re: Κι όμως λύνεται με συνάρτηση ...

Re: Κι όμως λύνεται με συνάρτηση ...

Μέλη σε σύνδεση