Ο z δεν είναι ...

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς

που ικανοποιούν τη σχέση ${{z}^{6}}-6z+a=0$ , a>6

. Να δείξετε ότι
α) ο

δεν είναι πραγματικός αριθμός
β) ο

δεν είναι φανταστικός αριθμός
γ) ο ${{z}^{2}}$ δεν είναι πραγματικός αριθμός .

kostas_zervos · #2

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς που ικανοποιούν τη σχέση ${{z}^{6}}-6z+a=0$ , . Να δείξετε ότι
α) ο δεν είναι πραγματικός αριθμός
β) ο δεν είναι φανταστικός αριθμός
γ) ο ${{z}^{2}}$ δεν είναι πραγματικός αριθμός .

α)Έστω η $f(x)=x^6-6x+a\;,\;x\in\Bbb{R}$ , συνεχής στο $\Bbb{R}$ και παραγωγίσιμη με f'(x)=6x^5-6

.

Είναι $f'(x)=0\iff x=1$ , $f'(x)>0\iff x>1$ , $f'(x)<0\iff x<1$ , άρα παρουσιάζει ελάχιστο το f(1)=a-5>0

, επομένως f(x)>0

για κάθε $x\in\Bbb{R}$ και η εξίσωση f(x)=0

δεν έχει πραγματικές ρίζες , επομένως ο μιγαδικός

δεν είναι πραγματικός.

β)Αν ήταν φανταστικός , έστω $z=bi\;,\;b\in\Bbb{R}$ , τότε θα έχουμε $(bi)^6-9bi+a=0\iff a-b^6-9bi=0\iff b=0$ και a=0

ΑΤΟΠΟ.

Άρα ο

δεν είναι φανταστικός αριθμός.
γ)Αν ο z^2

είναι πραγματικός , τότε ο

είναι είτε πραγματικός (αν $z^2\geq 0$ ) είτε φανταστικός (αν z^2<0

). ΑΤΟΠΟ από (α), (β).

gian7 · #3

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς που ικανοποιούν τη σχέση ${{z}^{6}}-6z+a=0$ , . Να δείξετε ότι
α) ο δεν είναι πραγματικός αριθμός.

Διαφορετικά για το α) (δεν έχει κάποια ουσιαστική διαφορά)
'Εστω $\displaystyle{f(z)=z^6 - 6z + a, z \in R}$
Είναι $\displaystyle{a=6k, k>1}$
'Αρα έχουμε: $\displaystyle{f(z) = 0 \Leftrightarrow z^6 - 6z + 6k=0 \Leftrightarrow k - z = -\frac{z^6}{6} \Leftrightarrow}$ $\displaystyle{ k - z < 0 \Leftrightarrow z>k \Leftrightarrow z>1}$ . 'Oμως όπως έδειξε ο κ.Kώστας η $\displaystyle{f}$ είναι γν.αύξουσα για $\displaystyle{z>1 \Rightarrow f(z) > a -5> 1>0, z>1}$ άρα δεν έχουμε λύσεις.

#4

Για το πρώτο ερώτημα μία απάντηση με γνώσεις Β΄Λυκείου:
Ας υποθέσουμε ότι ο

είναι πραγματικός.
Αν είναι αρνητικός προφανώς δεν ικανοποιεί την δοθείσα εξίσωση. Αν είναι $z\geq 0$ τότε με u=z-1

είναι $u\geq -1$ οπότε από χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Bernoulli έχουμε:
$z^{6}=\left( u+1\right) ^{6}\geq 1+6u=1+6\left( z-1\right) =6z-5>6z-6>6z-a$
οπότε πάλι η εξίσωση δεν έχει λύση.
Μαυρογιάννης

Ο z δεν είναι ...

Ο z δεν είναι ...

Re: Ο z δεν είναι ...

Re: Ο z δεν είναι ...

Re: Ο z δεν είναι ...

Μέλη σε σύνδεση