Άσκηση στους διανυσματικούς χώρους.

BAGGP93 · #1

Καλησπέρα σε όλους.

Έστω $\displaystyle{\left(X,+,\cdot\right)}$ ένας $\displaystyle{\mathbb{R}}$ διανυσματικός χώρος. Αν

$\displaystyle{Y}$ είναι ένας υπόχωρος του $\displaystyle{X}$ , $\displaystyle{A}$ είναι ένα γραμμικά

ανεξάρτητο υποσύνολο του $\displaystyle{Y}$ και $\displaystyle{z\in X-Y}$ , τότε, να δείξετε ότι το σύνολο

$\displaystyle{A\cup\left\{z\right\}}$ είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Ακολουθεί η λύση που έδωσα. Θα με βοηθούσε πολύ αν μου λέγατε τη γνώμη σας. Ευχαριστώ.

ΛΥΣΗ

Για το γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο $\displaystyle{A}$ διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις.

$\displaystyle{i)\,\,A=\varnothing}$ . Τότε, $\displaystyle{A\cup\left\{z\right\}=\left\{z\right\}\neq \left\{\vec{0}\right\}}$

διότι $\displaystyle{z=\vec{0}\Rightarrow z\in Y}$ μιας και ο $\displaystyle{Y}$ είναι υπόχωρος του $\displaystyle{X}$ ,

αυτό όμως δεν μπορεί να ισχύει διότι $\displaystyle{z\notin Y}$

Επομένως, το σύνολο $\displaystyle{A\cup\left\{z\right\}}$ είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

$\displaystyle{ii)\,\,A=\left\{y\right\}\,\,,\vec{0}\neq y\in X\,,y\neq z}$ . Τότε, $\displaystyle{A\cup\left\{z\right\}=\left\{y,z\right\}}$

Έστω $\displaystyle{k_1,k_2\in\mathbb{R}}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{k_1\,y+k_2\,z=\vec{0}}$ .

Αν $\displaystyle{k_2\neq 0}$ , τότε $\displaystyle{z=-\frac{k_1}{k_2}\,y\in Y}$ διότι $\displaystyle{Y:}$ υπόχωρος, άτοπο.

Επομένως, $\displaystyle{k_2=0}$ και $\displaystyle{k_1\,y=\vec{0}\stackrel{y\neq \vec{0}}{\Rightarrow} k_1=0}$ ,

γεγονός που αποδεικνύει το ζητούμενο.

$\displaystyle{iii)}$ . Έστω ότι το σύνολο $\displaystyle{A}$ έχει τουλάχιστον δύο στοιχεία .

Υποθέτουμε ότι το σύνολο $\displaystyle{A\cup\left\{z\right\}}$ είναι γραμμικά εξαρτημένο. Έτσι, υπάρχουν στοιχεία

$\displaystyle{x_i\in A\cup\left\{z\right\}\,,i\in\left\{1,...,k\right\}}$ και $\displaystyle{m_i\in\mathbb{R}-\left\{0\right\}}$

τέτοια, ώστε $\displaystyle{m_1\,x_1+...+m_k\,x_k=\vec{0}\,\,(I)}$

Αν $\displaystyle{x_i\in A\ \forall i\in\left\{1,...,k\right\}}$ , τότε από τη σχέση $\displaystyle{(I)}$ έπεται ότι

$\displaystyle{m_i=0\ \forall i\in\left\{1,...,k\right\}}$ διότι το σύνολο $\displaystyle{A}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητο

και το $\displaystyle{\left\{x_1,...,x_k\right\}}$ είναι πεπερασμένο υποσύνολο αυτού, άτοπο μιας και τα $\displaystyle{m_i}$

δεν είναι όλα μηδέν.

Συνεπώς, υπάρχει $\displaystyle{i\in\left\{1,...,k\right\}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{x_i=z}$ , οπότε

$\displaystyle{m_1\,x_1+...+m_{i-1}\,x_{i-1}+m_i\,z+m_{i+1}\,x_{i+1}+...+m_k\,x_k=\vec{0}$ .

Αν υποθέσουμε ότι οι συντελεστές των $\displaystyle{x_i=z}$ είναι μηδέν, τότε από την τελευταία σχέση θα προκύψει ότι

$\displaystyle{m_i=0\ \forall i}$ λόγω της γραμμικής ανεξαρτησίας, άτοπο.

Επομένως, $\displaystyle{z=\left(-\frac{m_1}{m_i}\right)\,x_1+...+\left(-\frac{m_{i-1}}{m_i}\right)\,x_{i-1}+\left(-\frac{m_{i+1}}{m_i}\right)\,x_{i+1}+...+\left(-\frac{m_{k}}{m_i}\right)\,x_k\in Y}$

ως γραμμικός συνδυασμός στοιχείων του $\displaystyle{Y}$ , άτοπο.

Ώστε, το σύνολο $\displaystyle{A\cup\left\{z\right\}}$ είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

abgd · #2

Καλή είναι η απόδειξη. Δεν χρειαζόταν η δεύτερη περίπτωση - δεν κάνεις κάτι διαφορετικό από αυτό που κάνεις στην τρίτη!

BAGGP93 · #3

Ευχαριστώ πολύ για τον έλεγχο.

Όσο για την δεύτερη περίπτωση, συμφωνώ ότι είναι περιττή, αλλά, αφού δεν υπάρχει κάποιο λάθος, την αφήνω.

kharga · #4

Η λύση είναι μια χαρά

Έχω την αίσθηση ότι θα πρέπει να μεταφερθεί στην ανάλυση αφού το αντικείμενο της άσκησης είναι η συναρτησιακή ανάλυση.

#5

BAGGP93 έγραψε: Έστω $\displaystyle{\left(X,+,\cdot\right)}$ ένας $\displaystyle{\mathbb{R}}$ διανυσματικός χώρος. Αν

$\displaystyle{Y}$ είναι ένας υπόχωρος του $\displaystyle{X}$ , $\displaystyle{A}$ είναι ένα γραμμικά

ανεξάρτητο υποσύνολο του $\displaystyle{Y}$ και $\displaystyle{z\in X-Y}$ , τότε, να δείξετε ότι το σύνολο

$\displaystyle{A\cup\left\{z\right\}}$ είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Σωστή είναι η απόδειξη που έδωσες, αλλά χάνεσαι στις λεπτομέρειες.
Ας μου επιτρέψεις να γράψω (ουσιαστικά την ίδια ) λύση, χωρίς τα περιττά.

Παίρνουμε οποιαδήποτε διανύσματα του $A\cup \{z\}$ . Χωρίς βλάβη το ίδιο το

είναι ένα από αυτά, οπότε ας ονομάσουμε x_1, ..., x_n

τα υπόλοιπα, τα οποία βέβαια είναι στο

.

Έστω τώρα $\displaystyle{mz+ m_1x_1+...+m_nx_n=0 \, (*)$ . Τότε $mz =- m_1x_1-..-m_nx_n \in Y$ . Έπεται mz=0

(αλλιώς θα είχαμε $z\in Y$ που αντιβαίνει στην υπόθεση). Άρα m=0

(διότι $z\ne 0$ καθώς $z\in X-Y$ ενώ $0\notin X-Y$ ).

H (*)

τώρα γράφεται $\displaystyle{m_1x_1+...+m_nx_n=0$ , από όπου m_1=...=m_n=0

λόγω ανεξαρτησίας του

. Τελειώσαμε.

Μ.

#6

kharga έγραψε:<...>το αντικείμενο της άσκησης είναι η συναρτησιακή ανάλυση.

Χμμμμ.

Το αντικείμενο της άσκησης είναι Γραμμική Άλγεβρα του πρώτου έτους. Η Συναρτησιακή Ανάλυση είναι πολύ πιο πέρα από την άσκηση. Η Συναρτησιακή χρησιμοποιεί βέβαια Γραμμική Άλγεβρα, αλλά και πολλοί άλλοι κλάδοι των Μαθηματικών το κάνουν. Η έμφασή της είναι σε τοπολογικές ιδιότητες των Γραμμικών χώρων.

Μ.

BAGGP93 · #7

Καλησπέρα σε όλους και ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας. Την άσκηση αυτή μας την έδωσε

ο καθηγητής της Συναρτησιακής Ανάλυσης. Βέβαια, είναι άσκηση Γραμμικής Άλγεβρας, αφού, το πρώτο κεφάλαιο

με το οποίο ασχοληθήκαμε έχει τίτλο " Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας " .

Είναι μια άλυτη άσκηση στις δικτυακές σημείωσεις του κυρίου Αργυρού για το μάθημα της Συναρτησιακής Ανάλυσης.

Άσκηση στους διανυσματικούς χώρους.

Άσκηση στους διανυσματικούς χώρους.

Re: Άσκηση στους διανυσματικούς χώρους.

Re: Άσκηση στους διανυσματικούς χώρους.

Re: Άσκηση στους διανυσματικούς χώρους.

Re: Άσκηση στους διανυσματικούς χώρους.

Re: Άσκηση στους διανυσματικούς χώρους.

Re: Άσκηση στους διανυσματικούς χώρους.

Μέλη σε σύνδεση