Υπαρξιακά προβλήματα (Γ' Λυκείου)

JimVerman · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left [ 0,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f'\left ( x \right )\neq 0 \; \forall \; x\in \left [ 0,1 \right ]}$ και η συνάρτηση $\displaystyle{g:\left [ 0,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{g\left ( x \right )=\left [ \int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx-f\left ( x \right ) \right ]\left [ f\left ( x \right )-f\left ( 0 \right ) \right ]}$ .

Να αποδειχθεί ότι:
i) υπάρχει $\displaystyle{\theta \in \left ( 0,1 \right )}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(\theta)=\int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx}$ ,
ii) η συνάρτηση

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1)

,
iii) υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \left ( 0,1 \right )}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{2f\left ( \xi \right )-f\left ( 0 \right )=\int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx}$ .

Giorgos S · #2

JimVerman έγραψε:Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left [ 0,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f'\left ( x \right )\neq 0 \; \forall \; x\in \left [ 0,1 \right ]}$ και η συνάρτηση $\displaystyle{g:\left [ 0,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{g\left ( x \right )=\left [ \int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx-f\left ( x \right ) \right ]\left [ f\left ( x \right )-f\left ( 0 \right ) \right ]}$ .

Να αποδειχθεί ότι:
i) υπάρχει $\displaystyle{\theta \in \left ( 0,1 \right )}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(\theta)=\int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx}$ ,
ii) η συνάρτηση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ,
iii) υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \left ( 0,1 \right )}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{2f\left ( \xi \right )-f\left ( 0 \right )=\int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx}$ .

Επειδή έμεινε αναπάντητη...

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle h(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}-x\int_{0}^{1}{f(x)dx} , x \in [0,1]$ . Η

είναι παραγωγίσιμη στο [0,1]

, με $h'(x)=f(x)-\int_{0}^{1}{f(x)dx} , x \in [0,1]$ .

Είναι h(0)=h(1)=0

, οπότε από θ.Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον $\theta \in (0,1)$ , τέτοιο ώστε: $h'(\theta)=0 \Rightarrow$ $\displaystyle{f(\theta)=\int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx}$ .

ii)

Η

είναι παραγωγίσιμη στο [0,1]

ως πράξη παραγωγίσιμων, με $g'(x)=f'(x)(\int_{0}^{1}{f(x)dx}-2f(x)+f(0))$ . Επίσης $g(0)=g(\theta)=0$ , οπότε από θ.Rolle η

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,1)

.

Από

υπάρχει $\xi \in (0,1)$ , τέτοιο ώστε: $g'(\xi)=0 \Rightarrow f'(\xi)(\int_{0}^{1}{f(x)dx}-2f(\xi)+f(0))=0$ και επειδή λόγω υπόθεσης $f'(x) \neq 0 , x \in [0,1]$ , προκύπτει ότι: $\displaystyle{2f\left ( \xi \right )-f\left ( 0 \right )=\int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx}$ .

Υπαρξιακά προβλήματα (Γ' Λυκείου)

Υπαρξιακά προβλήματα (Γ' Λυκείου)

Re: Υπαρξιακά προβλήματα (Γ' Λυκείου)

Μέλη σε σύνδεση