Πολύεδρα, κανονικά και ...αντικανονικά.

[Αλεξίνοος]

polyhedra_4_8_20.PNG (111.94 KiB) Προβλήθηκε 1339 φορές

Εις την εικόνα βλέπουμε δύο ζεύγη ομωνύμων κανονικών πολυγώνων.
Εάν, τα στοιχεία (αριστερό-δεξιό) εκάστου ζεύγους δεν παριστούν το αυτό στερεό, τουλάχιστον, ενα εκ των δύο είναι εσφαλμένο, δηλαδή, μη κανονικό.
Ποία είναι τα εσφαλμένα "κανονικά" πολύεδρα και πώς αποδεικνύεται η σφαλερότητά τους;

Σημείωση: Τα σχήματα εις τα δεξιά, έχουν σχεδιαστεί διά του “Paint”.

[Αλεξίνοος]

Ας μου επιτραπεί να παρουσιάσω ένα παιδικό “παιγνίδι” (αρχή λειτουργίας):
Δι΄ αυτού υλοποιείται η κάθετη προβολή ενός αντικειμένου επί επιπέδου. Πρόκειται περί μίας παραλλαγής των μεθόδων, κεντρικής προβολής, που χρησιμοποιούσαν τους προηγουμένους αιώνες ορισμένοι ζωγράφοι (υπάρχουν πολλές, σχετικές ξυλογραφίες του Ντύρερ). Η παραλλαγή (ή/και βελτίωση) συνίσταται εις την δυνατότητα παραλλήλου προβολής (καθέτου προς το επίπεδο προβολής).

projection_1.PNG (94.89 KiB) Προβλήθηκε 1298 φορές

Η ευθεία που ορίζουν τα σταυρονήματα είναι διαρκώς κάθετη επί του επιπέδου προβολής (όταν η βάση του φορέως των σταυρονημάτων εφάπτεται επί του υαλοπίνακος).
Όταν στοχεύουμε ένα σημείο του προς σχεδίασιν αντικειμένου κατά τρόπον ώστε, το σημείο αυτό, και οι δύο σταυροί των σταυρονημάτων να κείνται επ΄ ευθείας τότε, μπορούμε να σημειώσουμε επί του υαλοπίνακος το σημείο εις το οποίο ευρίσκεται ο σταυρός, ο εν επαφή προς αυτόν.
Το “παιχνίδι” το “έπαιξε”, αυτό το καλοκαίρι, ένα παιδί πού, τώρα είναι εις την 2α δημοτικού.
Τα αντικείμενα που σχεδίασε ήταν συνθετότερα από αυτό. [Τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα (με μήκη ακμών ακέραια πολλαπλάσια της μονάδος) τα σχεδιάζει επί ενός αξονομετρικού (ισομετρικού) κανάβου].
Σημείωση:
Περί της διατηρήσεως της παραλληλίας και, του λόγου των παραλλήλων (ή, συνευθειακών) τμημάτων ευθειών, θα ομιλήσουμε (με τό παιδί) το προσεχές καλοκαίρι.

[Αλεξίνοος]

Κατ΄ αρχάς, ας εξετάσουμε το τετράεδρο εις τα αριστερά της αρχικής εικόνας:
Ας το ονομάσουμε ( η κορυφή του – θεωρουμένου ως πυραμίδος).
Ας κατασκευάσουμε το διά του ύψος του, το . Και, διά να διευκολυνθούμε, ας το στρέψουμε ώστε να καταστήσουμε το κάθετο προς την βάση της οθόνης.

13_11_29_a.PNG (10.48 KiB) Προβλήθηκε 1261 φορές

Τώρα, ας επιχειρήσουμε να δούμε τίνος ισοπλεύρου τριγώνου προβολή είναι το ABC:

13_11_29_b.PNG (3.69 KiB) Προβλήθηκε 1261 φορές

Όπως βλέπουμε υπάρχει έλλειψη κέντρου , διέρχεται διά του και τέτοια ώστε, το μεν να κείται εκτός αυτής, το δε , εντός. Άρα, δεν υπάρχει τρίγωνο ισόπλευρο που να έχει το ως προβολή του.
Όπερ έδει δείξαι...
Αλλά, ας συνεχίσουμε:
Ας σχεδιάσουμε την περιγεγραμμένη έλλειψη του μη ισοπλεύρου τριγώνου και ας δούμε τίνος τριγώνου προβολή είναι αυτό και υπό ποία γωνία, , τέμνει το επίπεδο του η προβάλουσα:

13_11_29_c.PNG (6.04 KiB) Προβλήθηκε 1261 φορές

Έχομε: .
Διαιρώντας το διά του ευρίσκουμε το ύψος του προβαλλομένου τετραέδρου. Το αποτέλεσμα είναι πολύ μεγαλύτερο από το ύψος που αντιστοιχεί εις την ακτίνα του κύκλου του περιγεγραμμένου της έδρας του κανονικού τετραέδρου.
Ας δούμε το προβαλλόμενο τετράεδρο υπό γωνία προβολής από της μηδενικής έως της ορθής αυξάνοντάς την ανά της ορθής και, ταυτοχρόνως, ας δούμε τις αντίστοιχες προβολές ενός κανονικού τετραέδρου:

13_11_29_d.PNG (12.69 KiB) Προβλήθηκε 1261 φορές

[Αλεξίνοος]

Ας δούμε, τώρα, το τετράεδρο , εις τα αριστερά της αρχικής εικόνος:

8_hedron_a.PNG (7.48 KiB) Προβλήθηκε 1223 φορές

Τα τετράγωνα , και , θα έπρεπε να προβάλλονται (τουλάχιστον) ως παραλληλόγραμμα.
Ίσως όμως να έχει εφαρμοσθεί κάποια ... άγνωστη εις εμέ, προοπτική (εάν είναι επιτρεπτή, αυτή, εις τα γεωμετρικά σχήματα).

Ας δούμε προσεκτικότερα το σχήμα:

8_hedron_b.PNG (11.43 KiB) Προβλήθηκε 1223 φορές

Επειδή αδυνατούμε να αντιληφθούμε το τι παριστάνει η “κόκκινη” γραμμή ας την διαγράψουμε και ας την αντικαταστήσουμε με τις ακμές και τις οποίες, ούτως ή, άλλως, ...τις περιμένει το .
Τώρα όμως, οι προβολές των ακμών , και της διαγωνίου , κείνται επ΄ ευθείας...
Ας δούμε, λοιπόν, και τις άλλες διαγωνίους:

8_hedron_c.PNG (7.13 KiB) Προβλήθηκε 1223 φορές

Αλλά, δεν υπάρχει προοπτική που ...να διασπά, ένα σημείο, εις τρία:
Εδώ βλέπουμε τρία κέντρα του οκταέδρου εκ των οποίων το ένα ταυτίζεται με μία κορυφή του.

[Αλεξίνοος]

polyhedra_12-hedron.PNG (17.5 KiB) Προβλήθηκε 1170 φορές

Το “κόκκινο” πεντάγωνο είναι η προβολή ενός ...κανονικού πενταγώνου του οποίου οι διαγώνιοι δεν είναι παράλληλοι προς τις πλευρές του.
Το “μπλε” πεντάγωνο δεν είναι, καν, κυρτό....
Ερώτηση:
Εάν ο μαθητής έχει πεισθεί ότι αυτό που βλέπει είναι η απεικόνιση ενός κανονικού δωδεκαέδρου και, έπειτα δει μία ακριβή απεικόνιση, θα την αναγωρίσει;

070.PNG (9.5 KiB) Προβλήθηκε 1170 φορές

[Demetres]

Αλεξίνοε έχεις δίκιο. Ιδίως το εικοσάεδρο βγάζει μάτι ότι δεν είναι κανονικό. Ας τους δικαιολογήσουμε αφού δεν ισχυρίζονται ότι είναι κανονικό.

Πάντως αυτά συμβαίνουν και εις Παρισίους. Η Mathematical Association of America έχει ως λογότυπο το εικοσάεδρο, μόνο που από το 1972 μέχρι το 1985 σχεδιαζόταν λανθασμένα στα εξώφυλλα των περιοδικών της!

Δείτε π.χ. εδώ. Θα βρείτε στο άρθρο και εικοσάεδρο από βιβλίο που είναι ακόμη χειρότερα σχεδιασμένο από το δικό μας.

[Αλεξίνοος]

Αγαπητέ Δημήτρη,
το ότι τα εν λόγω πολύεδρα δεν δηλώνονται ως κανονικά (πώς, άλλωστε;) δεν αρκεί διά να «τους δικαιολογήσουμε» (όπως λέγεις).
Διότι η “δήλωση” υπάρχει – έμμεση πλην σαφής: Είναι τα αναπτύγματα που ευρίσκονται παραπλεύρως των στερεών.
Άλλωστε, (π.χ.) το εικοσάεδρο μόνον ως κανονικό το συναντούν οι μαθητές (και, ίσως, όχι οι μόνοι).

Σημειωτέον ότι δεν πρόκειται περί σχημάτων μίας (π.χ.) αποδεικτικής πρότασης (αν δεχθούμε ότι, εκεί, “επιτρέπονται” κάποια σχεδιαστικά σφάλματα) αλλά περί εποπτικών απεικονίσεων “γνωριμίας” του μαθητού με τα αντικείμενα που απεικονίζονται...

Ας συγκρίνουμε τον χρόνο και τον κόπο που απαιτείται για να γίνουν αυτές οι απεικονίσεις ακριβείς προς τον χρόνο εκατοντάδων χιλιάδων μαθητών που θα σπαταληθεί προς απόκτηση μίας εσφαλμένης εντύπωσης...

[Demetres]

Ασφαλώς και τα κανονικά εννοούσαν. Χιούμορ έκανα.