Συνεχής συνάρτηση

#1

Ένα ωραίο θέμα από Ρουμάνικο Διαγωνισμό του 1983
Έστω συνεχής στο

συνάρτηση

για την οποία ισχύει $f(f(x))=a\ f(x)+b \ x$ για κάθε πραγματικό αριθμό

, όπου

και

. Να αποδείξετε ότι f(0)=0

#2

εύκολα έχουμε ότι η f είναι 1-1, (και αφού συνεχής θα είναι γν.μονότονη,έστω γν.αύξουσα)

θέλουμε να δείξουμε οτι f(0)=0

,να δείξουμε ότι υπάρχει x_0=0

με

,άρα κάτι μας λέει για Bolzano

έστω $g(x)=f(x)-x,x\in\mathbb{R}$

αν ήταν $g(x)>0,x\in\mathbb{R}$ τότε $f(x)>x\rightarrow f(f(x))>f(x)\rightarrow...f(x)<\frac{bx}{1-a}$

όμως $\frac{b}{1-a}<1$ , οπότε f(1)<1

άτοπο αφού $g(x)>0\rightarrow f(1)>1$

ανάλογα εργαζόμαστε αν $g(x)<0,x\in\mathbb{R}$

άρα μπορούμε να υποθέσουμε ότι υπάρχουν $x_{1},x_{2}\in\mathbb{R},\,\,(x_1<x_2)$ με $g(x_1)g(x_2)\leq 0$

εφαρμόζοντας Θ.Bolzano υπάρχει $x_0 :g(x_0)=0\rightarrow f(x_0)=x_0$

$f(x_0)=x_0\longrightarrow$

$f(f(x_0))=f(x_0)\rightarrow af(x_0)+bx_0=f(x_0)\rightarrow...(a+b-1)x_0=0\rightarrow x_0=0$ ,

αφού $0<a,b<\frac{1}{2}$

ερώτηση
φαίνονται καθαρά αυτά που είναι γραμμένα σε latex;γιατί εγώ δεν

τα βλέπω καθαρά
κάτι γίνεται στον υπολογιστή μου;
======================
προσθήκη
Αλέξανδρε,τώρα πεντακάθαρα !!! ευχαριστούμε!!!

#3

΄Φωτεινή, δεν μπορούμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέσουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Πρέπει να εξετάσουμε και την περίπτωση που είναι γνησίως φθίνουσα
Φιλικά S.Kap

#4

Φωτεινή έγραψε: ερώτηση
φαίνονται καθαρά αυτά που είναι γραμμένα σε latex;γιατί εγώ δεν τα βλέπω καθαρά
κάτι γίνεται στον υπολογιστή μου;

Όχι ούτε στον υπολογιστή μου φαίνονται καθαρά. Σου βγαίνουν λίγο τα μάτια για να τα διαβάσεις.

Επεξεργασία: Τώρα όμως είναι πεντακάθαρα.

#5

s.kap έγραψε:΄Φωτεινή, δεν μπορούμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέσουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Πρέπει να εξετάσουμε και την περίπτωση που είναι γνησίως φθίνουσα
Φιλικά S.Kap

S.Kap θα το κοιτάξω,σε ευχαριστώ

#6

s.kap έγραψε:΄Φωτεινή,...Πρέπει να εξετάσουμε και την περίπτωση που είναι γνησίως φθίνουσα
Φιλικά S.Kap

S.Kap

υπάρχει περίπτωση η f να είναι γνησίως φθίνουσα;
νομίζω

,...εκτός και αν κάτι μου ξεφεύγει

...ή κάτι κάνω λάθος

περιμένω να

την απάντησή σου

#7

Αρχικά δείχνουμε ότι η $\displaystyle{f(x)-x}$ δεν μπορεί να έχει σταθερό πρόσημο (με άτοπο)

ι)Έστω $\displaystyle{f(x)>x,\forall x\in R}$
Θεωρώ ένα $\displaystyle{x_0>0}$ τότε
$\displaystyle{bx_0<\frac{x_0}{2}<\frac{f(x_0)}{2}<\frac{f(f(x_0))}{2}$
$\displaystyle{af(x_0)<\frac{f(x_0)}{2}<\frac{f(f(x_0))}{2}}$
Με προσθεση κατά μέλη $\displaystyle{bx_0+af(x_0)<f(f(x_0))}$ αντίφαση , άρα υπἀρχει $\displaystyle{k:f(k)<k}$

ιι)Έστω $\displaystyle{f(x)<x,\forall x\in R}$
Τότε $\displaystyle{f(f(x))<f(x)\Rightarrow af(x)+bx<f(x)\Rightarrow b.0<(1-a)f(0)\Rightarrow 0<f(0)}$ ατοπο , αρα υπἀρχει $\displaystyle{l:f(l)>l}$

Τώρα αν η $\displaystyle{f(x)-x}$ δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο καταλήγουμε από Bolzano οτι υπάρχει $\displaystyle{u:u=f(u)}$
συνεπώς $\displaystyle{f(f(u))=af(u)+bu\Rightarrow (a+b-1)u=0\Rightarrow u=0\Rightarrow f(0)=0}$

#8

Φωτεινή
Το να είναι γνησίως φθίνουσα δεν αποκλείεται από τα δεδομένα. Αν όμως είναι τότε θα υπάρχει μοναδικό r ώστε f(r)=r

.Άρα η υπόθεση δίνει f(f(r))=af(r)+br

, άρα

.Αν το r δεν είναι 0, τότε προκύπτει ότι a+b=1, άτοπο.
Φιλικά S.Kap

#9

s.kap έγραψε:Φωτεινή
Το να είναι γνησίως φθίνουσα δεν αποκλείεται από τα δεδομένα. Αν όμως είναι τότε θα υπάρχει μοναδικό r ώστε .Άρα η υπόθεση δίνει , άρα .Αν το r δεν είναι 0, τότε προκύπτει ότι a+b=1, άτοπο.
Φιλικά S.Kap

α... μάλιστα,αυτό εννοούσες
S.Kap ,ευχαριστώ

Συνεχής συνάρτηση

Συνεχής συνάρτηση

Re: Συνεχής συνάρτηση

Re: Συνεχής συνάρτηση

Re: Συνεχής συνάρτηση

Re: Συνεχής συνάρτηση

Re: Συνεχής συνάρτηση

Re: Συνεχής συνάρτηση

Re: Συνεχής συνάρτηση

Re: Συνεχής συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση