Μια περίεργη συνάρτηση

#1

Κατασκευάζουμε μια συνάρτηση

ως εξής:
Έστω $a_{1},a_{2},...,a_{n},...$ μια αρίθμηση του συνόλου των ρητών. Για κάθε πραγματικό αριθμό

ορίζουμε το σύνολο $N_{x}$ να είναι το σύνολο των φυσικών, οι οποίοι είναι δείκτες ρητών της παραπάνω αρίθμησης που είναι < του

. Έτσι η

έχει πεδίο ορισμού το

και τύπο
$f(x)=\displaystyle\sum_{n\in N_{x}}^{}{}\frac{1}{2^{n}}$ .Να αποδείξετε ότι η

είναιγνησίως αύξουσα, συνεχής στους άρρητους και ασυνεχής στους ρητούς.

dement · #2

Λοιπον, εχουμε και λεμε...

Εστω x < y

. Τοτε υπαρχει τουλαχιστον ενας ρητος

με

, οποτε $f(y) - f(x) > 2^{-a_r} > 0$ . Ετσι, η

ειναι γνησιως αυξουσα.

Εστω $x \in \mathbb{Q}$ . Τοτε, για καθε y_1, y_2

με

ισχυει $f(y_2) - f(y_1) > 2^{-a_x}$ , απο οπου επεται η ασυνεχεια στους ρητους.

Εστω $x \notin \mathbb{Q}$ . Τοτε, για καθε $m \in \mathbb{N}$ , μπορουμε να βρουμε y_1, y_2

με

τετοιους ωστε $a^{-1} \left( [y_1, y_2] \right) \cap \{ 1,2,...,m \} = \emptyset$ και κατα συνεπεια $f(y_2) - f(y_1) \leq 2^{-m}$ , το οποιο τακτοποιει τη συνεχεια στους αρρητους.

Δημητρης Σκουτερης

#3

Και εδώ.

dement · #4

Κι ελεγα, που την ξερω, που την ξερω ;

#5

Η δική μου λύση στο συνημμένο

Μια περίεργη συνάρτηση

Μια περίεργη συνάρτηση

Re: Μια περίεργη συνάρτηση

Re: Μια περίεργη συνάρτηση

Re: Μια περίεργη συνάρτηση

Re: Μια περίεργη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση