ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. + ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΤΟΠ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

parmenides51 · #1

Όλα τα θέματα ήταν ίδια και για τους Τοπογράφους Μηχανικούς και για τους Χημικούς Μεταλλειολόγους Τοπογράφους Αλλοδαπούς.

Εξεταστής: Καλογεράς

1. Να βρεθεί το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma}$ των $\displaystyle{ \nu}$ πρώτων όρων της σειράς
$\displaystyle{ \alpha,(\alpha+\beta)p, (\alpha+2\beta)p^2,...,(\alpha+(\nu-1)\beta)p^{\nu-1},...}$ όπου $\displaystyle{ \alpha\ne 0 , \beta\ne 0}$ .
Να βρεθεί επίσης το όριο του αθροίσματος αυτού $\displaystyle{\Sigma}$ , όταν το $\displaystyle{\nu}$ τείνει στο άπειρο για $\displaystyle{0<p<1}$ .

2. Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί $\displaystyle{x,y,z,w}$ με τις εξής ιδιότητες:
α) Το άθροισμα του $\displaystyle{1}$ ου, $\displaystyle{3}$ ου και $\displaystyle{4}$ ου υπερβαίνει τον $\displaystyle{2}$ ο κατά $\displaystyle{8}$ .
β) Η διαφορά του αθροίσματος των τετραγώνων $\displaystyle{3}$ ου και $\displaystyle{4}$ ου , από το άθροισμα των τετραγώνων $\displaystyle{1}$ ου και $\displaystyle{2}$ ου είναι $\displaystyle{36}$ .
γ) Το άθροισμα των γινομένων των $\displaystyle{1}$ ου και $\displaystyle{2}$ ου και των $\displaystyle{3}$ ου και $\displaystyle{4}$ ου είναι $\displaystyle{42}$ .
δ) Ο κύβος του πρώτου ισούται με το άθροισμα των κύβων των τριών άλλων.

3. α) Τι ονομάζεται απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού $\displaystyle{\alpha}$ ;
β) Να αποδειχθεί οτι $\displaystyle{ |\alpha-\beta|\ge ||\alpha|-|\beta||}$ .Πότε ισχύει το ίσον;

4. Σε ένα επίπεδο χαράσσονται $\displaystyle{ \nu}$ κύκλοι.
Καθένας από αυτούς τέμνει όλους τους υπόλοιπους και
τρεις οποιοιδήποτε από τους $\displaystyle{ \nu}$ κύκλους δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Σε πόσα μέρη χωρίζουν το επίπεδο οι $\displaystyle{ \nu}$ κύκλοι;

Υ.Γ. Ο Πάλλας στο Δελτίο του σχολιάζει οτι το 4ο θέμα δεν είναι θέμα για εξετάσεις εισαγωγικές (προφανώς εννοεί κατάλληλο).

edit
προσθήκη 4ου θέματος, κατόπιν διασταύρωσης των πηγών της συγκεκριμένης εξέτασης

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί $\displaystyle{x,y,z,w}$ με τις εξής ιδιότητες:
α) Το άθροισμα του $\displaystyle{1}$ ου, $\displaystyle{3}$ ου και $\displaystyle{4}$ ου υπερβαίνει τον $\displaystyle{2}$ ο κατά $\displaystyle{8}$ .
β) Η διαφορά του αθροίσματος των τετραγώνων $\displaystyle{3}$ ου και $\displaystyle{4}$ ου , από το άθροισμα των τετραγώνων $\displaystyle{1}$ ου και $\displaystyle{2}$ ου είναι $\displaystyle{36}$ .
γ) Το άθροισμα των γινομένων των $\displaystyle{1}$ ου και $\displaystyle{2}$ ου και των $\displaystyle{3}$ ου και $\displaystyle{4}$ ου είναι $\displaystyle{42}$ .
δ) Ο κύβος του πρώτου ισούται με το άθροισμα των κύβων των τριών άλλων.

Ισχύουν οι σχέσεις: $\left\{ \begin{array}{l} x + z + w = y + 8\;\quad \quad \quad \left( 1 \right)\\ {x^2} + {y^2} - {z^2} - {w^2} = 36\;\;\left( 2 \right)\\ xy + zw = 42\quad \quad \quad \quad \;\left( 3 \right)\\ {x^3} = {y^3} + {z^3} + {w^3}\quad \quad \;\left( 4 \right) \end{array} \right.$

$\displaystyle{\left( 1 \right) \Rightarrow {\left( {x - y} \right)^2} = {\left( {8 - z - w} \right)^2} \Rightarrow }$

$\displaystyle{{x^2} - 2xy + {y^2} = 64 + {z^2} + {w^2} - 16z - 16w + 2zw \Rightarrow }$

$\displaystyle{{x^2} + {y^2} - {z^2} - {w^2} - 2\left( {xy + zw} \right) + 16\left( {z + w} \right) = 64\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right),\left( 3 \right)} }$

$z + w = 7\;\left( 5 \right)$

$\left( 1 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 5 \right)} x - y = 1 \Rightarrow y = x - 1\quad \left( 6 \right)$

$\left( 4 \right) \Rightarrow {x^3} - {y^3} = {z^3} + {w^3} \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = \left( {z - w} \right)\left( {{z^2} - zw + {w^2}} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 5 \right),\left( 6 \right)}$

${x^2} + xy + {y^2} = 7{z^2} - 7zw + 7{w^2}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right),\left( 3 \right)}$

$36 + {z^2} + {w^2} + 42 - zw = 7{z^2} - 7zw + 7{w^2} \Rightarrow$

${z^2} + {w^2} - zw = 13 \Rightarrow {\left( {z + w} \right)^2} - 3zw = 12\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 5 \right)} zw = 12\;\left( 8 \right)$

Από την $\left( 3 \right)$ βρίσκουμε $xy = 30\quad \left( 9 \right)$

$\left( 9 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 6 \right)} x\left( {x - 1} \right) = 30 \Rightarrow x = 6\;\dot \eta \;x = - 5$

Με x = 6

από $\left( 6 \right) \Rightarrow y = 5$

Με x = - 5

από $\left( 6 \right) \Rightarrow y = - 6$

Οι z,w

είναι λύσεις της εξίσωσης ${a^2} - 7a + 12 = 0 \Rightarrow a = 4\;\dot \eta \;a = 3$

Έτσι $z = 4\;\kappa \alpha \iota \;w = 3$ ή $z = 3\;\kappa \alpha \iota \;w = 4$

Άρα οι ζητούμενες τετράδες $\left( {x,y,z,w} \right)$ είναι οι:

$\left( {6,5,4,3} \right),\left( {6,5,3,4} \right),$ $\left( { - 5, - 6,3,4} \right),\left( { - 5, - 6,4,3} \right)$

που ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος.

Μάκης Χατζόπουλος · #3

parmenides51 έγραψε:Όλα τα θέματα ήταν ίδια και για τους Τοπογράφους Μηχανικούς και για τους Χημικούς Μεταλλειολόγους Τοπογράφους Αλλοδαπούς.

Εξεταστής: Καλογεράς

1. Να βρεθεί το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma}$ των $\displaystyle{ \nu}$ πρώτων όρων της σειράς
$\displaystyle{ \alpha,(\alpha+\beta)p, (\alpha+2\beta)p^2,...,(\alpha+(\nu-1)\beta)p^{\nu-1},...}$ όπου $\displaystyle{ \alpha\ne 0 , \beta\ne 0}$ .
Να βρεθεί επίσης το όριο του αθροίσματος αυτού $\displaystyle{\Sigma}$ , όταν το $\displaystyle{\nu}$ τείνει στο άπειρο για $\displaystyle{0<p<1}$ .

Έχουμε διαδοχικά,

$\displaystyle{\begin{array}{l} {P_v} = a + \left( {a + b} \right)p + \left( {a + 2b} \right){p^2} + ... + \left( {a + \left( {v - 1} \right)b} \right){p^{v - 1}} = \\ \\ = \left( {a + ap + a{p^2} + ... + a{p^{v - 1}}} \right) + \left( {bp + 2b{p^2} + ... + \left( {v - 1} \right)b{p^{v - 1}}} \right)\\ \\ = a\left( {1 + p + {p^2} + ... + {p^{v - 1}}} \right) + bp\left( {1 + 2p + 3{p^2} + ... + \left( {v - 1} \right){p^{v - 2}}} \right)\\ \\ = a \cdot \frac{{{p^v} - 1}}{{p - 1}} + bp \cdot \left( {\frac{{1 - \left( {1 + v} \right){p^{v - 1}} + v{p^v}}}{{{{\left( {1 - p} \right)}^2}}}} \right) \end{array}}$

γιατί, θέτουμε το άθροισμα $\displaystyle{{S_{v - 1}} = 1 + 2p + 3{p^2} + ... + \left( {v - 1} \right){p^{v - 2}}}$ τότε με πολ/σμό του

γίνεται:

$\displaystyle{p \cdot {S_{v - 1}} = p + 2{p^2} + 3{p^3} + ... + \left( {v - 1} \right){p^{v - 1}}}$

με αυτές τις δύο σχέσεις έχουμε

$\displaystyle{\begin{array}{l} {S_{v - 1}} - p \cdot {S_{v - 1}} = 1 + p + {p^2} + .... + {p^{v - 2}} - \left( {v - 1} \right){p^{v - 1}} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \left( {1 - p} \right) \cdot {S_{v - 1}} = 1 + p + {p^2} + .... + {p^{v - 2}} + {p^{v - 1}} - v \cdot {p^{v - 1}}\\ \\ \Rightarrow {S_{v - 1}} = \frac{{1 - {p^{v - 1}}}}{{{{\left( {1 - p} \right)}^2}}} - \frac{{v{p^{v - 1}}}}{{1 - p}} = \frac{{1 - {p^{v - 1}} - v{p^{v - 1}} + v{p^v}}}{{{{\left( {1 - p} \right)}^2}}} = \frac{{1 - \left( {1 + v} \right){p^{v - 1}} + v{p^v}}}{{{{\left( {1 - p} \right)}^2}}} \end{array}}$

Το ζητούμενο όριο είναι,

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{v \to + \infty } {P_v} = a \cdot \frac{{0 - 1}}{{p - 1}} + bp\left( {\frac{{1 - 0 + 0}}{{{{\left( {1 - p} \right)}^2}}}} \right) = \frac{a}{{1 - p}} + \frac{{bp}}{{{{\left( {1 - p} \right)}^2}}}}$

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθεί το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma}$ των $\displaystyle{ \nu}$ πρώτων όρων της σειράς
$\displaystyle{ \alpha,(\alpha+\beta)p, (\alpha+2\beta)p^2,...,(\alpha+(\nu-1)\beta)p^{\nu-1},...}$ όπου $\displaystyle{ \alpha\ne 0 , \beta\ne 0}$ .
Να βρεθεί επίσης το όριο του αθροίσματος αυτού $\displaystyle{\Sigma}$ , όταν το $\displaystyle{\nu}$ τείνει στο άπειρο για $\displaystyle{0<p<1}$ .

$\displaystyle{\Sigma_{\nu}= \alpha+(\alpha+\beta)p+ (\alpha+2\beta)p^2,...+(\alpha+(\nu-1)\beta)p^{\nu-1}}$
$\displaystyle{= \alpha+\alpha p+\alpha p^2+\alpha p^3+...+\alpha p^{\nu -1}+\beta p+2\beta p^2+3\beta p^3+...+(\nu-1)\beta p^{\nu-1}}$
$\displaystyle{= \alpha(1+p+p^2+p^3+...+p^{\nu -1})+\beta p[1+2p+3p^2+...+(\nu-1) p^{\nu-2}]}$
$\displaystyle{= \alpha \frac{p^{\nu}-1}{p-1}+\beta p D_{\nu}}$

όπου $\displaystyle{D_{\nu}=1+2p+3p^2+...+(\nu-1)p^{\nu-2}=(p+p^2+p^3+...+ p^{\nu-1})'}$
$\displaystyle{D_{\nu}=\left(p\frac{p^{\nu-1}-1}{p-1}\right)'=\left(\frac{p^{\nu}-p}{p-1}\right)'=\frac{(p^{\nu}-p)'(p-1)-(p^{\nu}-p)(p-1)'}{(p-1)^2}}$
$\displaystyle{D_{\nu}=\frac{(\nu p^{\nu-1}-1)(p-1)-(p^{\nu}-p)}{(p-1)^2}=\frac{\nu p^{\nu}-\nu p^{\nu-1}-p+1-p^{\nu}+p}{(p-1)^2}}$
$\displaystyle{D_{\nu}=\frac{(\nu-1) p^{\nu}-\nu p^{\nu-1}+1}{(p-1)^2}}$

οπότε $\displaystyle{\Sigma_{\nu}= \alpha \frac{p^{\nu}-1}{p-1}+\beta p \frac{(\nu-1) p^{\nu}-\nu p^{\nu-1}+1}{(p-1)^2}}$

οπότε $\displaystyle{\lim_{\nu\to+\infty}\Sigma_{\nu}=\lim_{\nu\to+\infty}\left(\alpha \frac{p^{\nu}-1}{p-1}+\beta p \frac{(\nu-1) p^{\nu}-\nu p^{\nu-1}+1}{(p-1)^2}\right)}$
$\displaystyle{=\alpha \frac{0-1}{p-1}+\beta p \frac{(\nu-1) 0-\nu 0+1}{(p-1)^2}= \frac{-\alpha}{p-1}+\frac{\beta p }{(p-1)^2}}$

ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. + ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΤΟΠ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. + ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΤΟΠ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Re: ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. + ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΤΟΠ. ΑΛΛΟΔΑΠ

Re: ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. + ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΤΟΠ. ΑΛΛΟΔΑΠ

Re: ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. + ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΤΟΠ. ΑΛΛΟΔΑΠ

Μέλη σε σύνδεση