ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Καλογεράς

1. α) Τι ονομάζεται ακέραιο ως προς $\displaystyle{x}$ πολυώνυμο και τι βαθμός αυτού; Πότε το ακέραιο πολυώνυμο $\displaystyle{\Pi (x)}$ διαιρείται από το ακέραιο πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)}$ ;
β) Μέσω διαδοχικών διαιρέσεων, να βρεθεί ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των πολυωνύμων $\displaystyle{f(x)=x^5-x^4+8x^2-8x}$ και $\displaystyle{g(x)=x^3+4x^2-8x+24}$

2. Τρεις ταξιδιώτες $\displaystyle{A,B,\Gamma}$ αναχωρούν στις $\displaystyle{3}$ , στις $\displaystyle{4}$ και στις $\displaystyle{7}$ η ώρα αντίστοιχα από κοινή αφετηρία προς την ίδια κατεύθυνση. Ο $\displaystyle{\Gamma}$ προσπερνά τον $\displaystyle{B}$ στις $\displaystyle{7}$ η ώρα και τον $\displaystyle{A}$ σε απόσταση $\displaystyle{4,5 \,\,Km}$ από το σημείο που συναντήθηκε με τον $\displaystyle{ B }$ στις $\displaystyle{7 }$ και $\displaystyle{30 '}$ . Πότε ο $\displaystyle{B}$ θα συναντήσει τον $\displaystyle{A}$ ;

3. Έστω $\displaystyle{A_1,A_2,A_3,...,A_{\mu} }$ είναι τα αθροίσματα των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων $\displaystyle{\mu}$ αριθμητικών προόδων, οι οποίες έχουν πρώτους όρους $\displaystyle{a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4,...}$ και διαφορές $\displaystyle{\omega_1=1,\omega_2=3,\omega_3=5,\omega_4=7, ...}$ αντίστοιχα. Ζητείται το $\displaystyle{A_1+A_2+A_3+...+A_{\mu}}$ .

4. Να δειχθεί οτι το πολυώνυμο $\displaystyle{f(x,y.z)=12\left[(x+y+z)^{2\alpha}-(y+z)^{2\alpha}-(z+x)^{2\alpha}-(x+y)^{2\alpha}+x^{2\alpha}+y^{2\alpha}+z^{2\alpha}\right]}$ όπου $\displaystyle{\alpha}$ φυσικός αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του $\displaystyle{ 2}$ , διαιρείται από το πολυώνυμο $\displaystyle{g(x,y,z)=(x+y+z)^{4}-(y+z)^{4}-(z+x)^{4}-(x+y)^{4}+x^{4}+y^{4}+z^{4}}$

Υ.Γ. Τα 3 από τα 4 θέματα (1ο,3ο και 4ο) έπεσαν και στις Εξετάσεις Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανολόγων Αλλοδαπών (σχετικά)

Christos.N · #2

3. Έστω $\displaystyle{A_1,A_2,A_3,...,A_{\mu} }$ είναι τα αθροίσματα των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων $\displaystyle{\mu}$ αριθμητικών προόδων, οι οποίες έχουν πρώτους όρους $\displaystyle{a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4,...}$ και διαφορές $\displaystyle{\omega_1=1,\omega_2=3,\omega_3=5,\omega_4=7, ...}$ αντίστοιχα. Ζητείται το $\displaystyle{A_1+A_2+A_3+...+A_{\mu}}$ .

$\displaystyle{ \begin{array}{l} A_i = \frac{n}{2}\left( {a_i + (n - 1)\omega _i } \right) \Rightarrow \\ \\ \sum\limits_{i = 1}^\mu {A_i } = \sum\limits_{i = 1}^\mu {\frac{n}{2}\left( {a_i + (n - 1)\omega _i } \right) = \,\,\frac{n}{2}\sum\limits_1^\mu {a_i } + \frac{n}{2}(n - 1)} \sum\limits_1^\mu {\omega _i } = \frac{n}{2}\sum\limits_1^\mu i + \frac{n}{2}(n - 1)\sum\limits_1^\mu {(2i - 1)} \Rightarrow \\ \\ \sum\limits_{i = 1}^\mu {A_i } = \frac{n}{2}\sum\limits_1^\mu i + \frac{n}{2}(n - 1)\sum\limits_1^\mu {(2i - 1)} = \frac{n}{2}\frac{{\mu (\mu + 1)}}{2} + n(n - 1)\sum\limits_1^\mu i - \frac{n}{2}(n - 1)\sum\limits_1^\mu 1 = \frac{{n\mu (\mu + 1)}}{4} + \frac{{n(n - 1)\mu (\mu + 1)}}{2} - \frac{{n(n - 1)\mu }}{2} \Rightarrow \\ \\ \sum\limits_{i = 1}^\mu {A_i } = \frac{{n\mu (\mu + 1)}}{4} + \frac{{n(n - 1)\mu (\mu + 1)}}{2} - \frac{{n(n - 1)\mu }}{2} = \frac{{n\mu (\mu + 1)}}{4} + \frac{{n(n - 1)\mu (\mu + 1)}}{2} - \frac{{n(n - 1)\mu }}{2} = \frac{{n\mu (2\mu n - \mu + 1)}}{4} \\ \end{array} }$

ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Re: ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Μέλη σε σύνδεση