Ασυνεχείς συναρτήσεις με Αρχική

#1

Παραθέτω κάποιες θεωρητικές επεκτάσεις σαν συνέχεια αυτού του ποστ, σε περίπτωση που δεν τις έχει κανείς ήδη υπόψιν, ή, τέλος πάντων για να υπάρχουν.

Ο φίλος Χρήστος έδωσε ένα παραδειγματάκι μιας συνάρτησης

ορισμένης στο $D_{f}=\mathbb{R}$
η οποία παρόλο που είναι ασυνεχής στο $D_{f}\ni x_{0}=0$ , έχει αρχική στο $D_{f}$ .

Θέτω το εξής ερώτημα:

Πώς μπορεί να συμπεριφέρεται μια συνάρτηση κοντά σε κάποιο σημείο ασυνέχειας του πεδίου ορισμού της προκειμένου να έχει παράγουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της;

Με άλλα λόγια:

Τι είδους ασυνέχεια μπορεί να έχει η στο $x_{0}\in D_{f}$ προκειμένου να έχει αρχική στο $D_{f}$ ;

α) Μπορεί η ασυνέχεια να είναι άρσιμη; ( Υπάρχει το $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)$ )

β) Μπορεί η ασυνέχεια να είναι είναι α' είδους; ( $\displaystyle\mathbb{R}\ni\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\neq\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\in\mathbb{R}$ )

γ) Μπορεί η ασυνέχεια να είναι β' είδους; ( Κάποιο από τα $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)$ δεν υπάρχει )

Στο τρίτο ερώτημα απαντάει το παράδειγμα του Χρήστου.

Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά και με το γενικότερο ορισμό των αρχικών μπορεί κανείς να δει και εδώ

#2

Επαναφορά!

#3

Τάσο, θάλω και γω μια μέρα να ξεκλέψω χρόνο για να συμμαζέψω όλα αυτά τα θέματα που βάζεις. Έχω καλό υλικό, και θεωρητικό ,αλλά το πιο πολύ αφορά εμάς τους μαθηματικούς.
Θα προσπαθήσω όσο γίνεται πιο σύντομα.

Μπάμπης

#4

Για τα (α) και (β) έχει δώσει απάντηση ο Νίκος Μαυρογιάννης εδώ: viewtopic.php?f=61&t=860

Παρατηρώ ότι σε αυτή την συζήτηση έθεσα την ίδια άσκηση που έβαλε και ο Νίκος στην αρχή του θέματος. Για ποιο λόγο το έκανα αυτό μη με ρωτάτε.

7apostolis · #5

Καλημέρα,
ίσως και αυτό viewtopic.php?f=61&t=898&start=0το κείμενο βοηθήσει,
ιδίως το έγγραφο που περιέχεται στο 4ο μήνυμα.
Αποστόλης

Ιστοσελίδα · #6

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Παραθέτω κάποιες θεωρητικές επεκτάσεις σαν συνέχεια αυτού του ποστ, ...

Σε αυτό το ποστ η ερώτηση αρχικά ήταν για περιοδική συνάρτηση και περιοδική παράγουσα και δεν έχει απαντηθεί.

#7

Δίνω ένα συνημμένο με μερικά ενδιαφέροντα θέματα. Θα βγουν και από δω μερικά χρήσιμα συμπεράσματα.

Μπάμπης

7apostolis · #8

Καλημέρα,
για την 1.α του συνημμένου του Μπάμπη κάνουμε το εξής κόλπο:

Θεωρώ την $\displaystyle{\displaystyle{g(x) = \left\{ {{x^2}\sigma \upsilon \nu (\frac{1}{x})} \right.,x \in (0,1], 0 \gamma \iota \alpha x = 0}}$ ,
τότε η παράγωγος g'(x) είναι 0 για χ=0 και για χ στο (0, 1] $\displaystyle{\displaystyle{g'(x) = 2x\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{1}{x}} \right) + \eta \mu \left( {\frac{1}{x}} \right)}}$ .
Όμως η συνάρτηση h(x)=0 για χ=0 και

\displaystyle{h(x) = 2x\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{1}{x}} \right)}

για χ στο (0, 1] είναι συνεχής στο [0, 1] άρα έχει αρχική.
Αφού f(x)= g'(x)-h(x), τότε και η f έχει αρχική.

Ανάλογα βγαίνει και η 1.β

Για 2.α έχει ασυνέχεια α' είδους στο χ=0, άρα όχι Darboux συνεχής, άρα δεν έχει αρχική, αφού οι συναρτήσεις με αρχική είναι υποσύνολο του συνόλου των Darboux συνεχών συναρτήσεων.

Ανάλογα για 2.β

Αποστόλης

#9

Ωραίες ασκήσεις Μπάμπη

1α
Θέτω $\displaystyle{ g(x)=\begin{cases} x^2cos(\frac{1}{x}) & \text{ if } x\ne 0 \\ 0 & \text{ if } x=0 \end{cases}}$ που μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R

Ας είναι $\displaystyle{h(x)=\begin{cases} 2xcos(\frac{1}{x}) & \text{ if } x\ne 0 \\ 0 & \text{ if } x=0 \end{cases}$ που και αυτή δείχνουμε ότι είναι συνεχής

Τέλος ονομάζω $\displaystyle{F(x)=g(x)-\int_{0}^{x}{f(t)dt}}$ που είναι παραγωγίσιμη στο R και $\displaystyle{F'(x)=sin(\frac{1}{x}) , x\ne 0}$ λογω του κανόνα DL

Ακόμη έχω $\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{F(x)-F(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{F(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-\int_{0}^{x}{f(t)dt}}{x}}$
εφαρμόζοντας ΘΜΤολ παίρνουμε
$\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{F(x)-F(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\displaystyle{\frac{2x\xi cos(\frac{1}{\xi})-x^2cos(\frac{1}{x})}{x}}}=\lim_{x\to 0}(2\xi cos(\frac{1}{\xi})-xcos(\frac{1}{x}))}$

Επειδή όταν $\displaystyle{x\to 0+}$ και $\displaystyle{\xi \to 0+}$ μπορούμε με το κριτήριο παρεμβολής να δείξουμε ότι $\displaystyle{2\xi cos(\frac{1}{\xi}),-xcos(\frac{1}{x}) }$ τείνουν στο 0 που σημαίνει $\displaystyle{F'(0+)=0}$ ,όμοια για 0- Τελικά $\displaystyle{ F'(x)=f(x), \forall x \in R}$

2a
Αν υπήρχε αρχική F τότε:
$\displaystyle{0=F'(0)=\lim_{x\to 0+}\frac{F(x)-F(0)}{x}=\lim_{x\to 0+}\frac{F(x)}{x}=\lim_{x\to 0+}\frac{F'(x)}{1}=\lim_{x\to 0+}\frac{sin(x)}{x}=1}$ άτοπο

3
ομοια με την 2α θα ἐπρεπε
$\displaystyle{0=F'(0+)=...=\lim_{x\to 0+}\frac{F'(x)}{1}=\lim_{x\to 0+}cos^2(\frac{1}{x})}$ που δεν υπάρχει ,ατοπο

Μάκης Χατζόπουλος · #10

Περιλαμβάνω ένα συνημμένο με σκέψεις γύρω από την αρχική συνάρτηση, είχα αναφέρει ότι θα πρέπει να μαζέψουμε τις στοιχειώδεις παρατηρήσεις πάνω στην αρχική και την προσπάθεια του Αναστάση θα την ενισχύσω γιατί δεν πρέπει να πάει χαμένη. Παρατηρώ πολλά από τα παραδείγματα μου αναφέρονται ήδη. Θέλει ένα ρετουσάρισμα το αρχείο και την βοήθεια σας για να βγει κάτι χρήσιμο από όλη αυτή την κουβέντα...

Φιλικά,

Μάκης (όπως συνηθίζει να γράφει ο Μιχάλης, ο πρώτος διδάξας ήθους στο

)

Μάκης Χατζόπουλος · #11

Θα αναφέρω και κάποιες άλλες σκέψεις συναδέλφων που θα τις εντάξω σύντομα στις σημειώσεις μου...

dement έγραψε:
Σεραφείμ έγραψε:H f(x) ως ολοκληρώσιμη είναι και συνεχής.
Δε νομιζω οτι ισχυει, Σεραφειμ - υπαρχουν ολοκληρωσιμες συναρτησεις που δεν ειναι συνεχεις. Το αντιστροφο ισχυει.
Δημητρης Σκουτερης

Σεραφείμ έγραψε:Σωστά Δημήτρη, η συνάρτηση ολοκλήρωμα παραγωγίζεται, δεν σημαίνει όμως ότι έχει και συνεχή παράγωγο Αποσύρω τα παραπάνω γραφόμενα.

Ιστοσελίδα · #12

Αρκεί να είναι φραγμένη...

Ασυνεχείς συναρτήσεις με Αρχική

Ασυνεχείς συναρτήσεις με Αρχική

Re: Ασυνεχείς συναρτήσεις με Αρχική

Re: Ασυνεχείς συναρτήσεις με Αρχική

Re: Ασυνεχείς συναρτήσεις με Αρχική

Re: Ασυνεχείς συναρτήσεις με Αρχική

Re: Ασυνεχείς συναρτήσεις με Αρχική

Re: Ασυνεχείς συναρτήσεις με Αρχική

Re: Ασυνεχείς συναρτήσεις με Αρχική

Re: Ασυνεχείς συναρτήσεις με Αρχική

Re: Ασυνεχείς συναρτήσεις με Αρχική

Re: Ασυνεχείς συναρτήσεις με Αρχική

Re: Ασυνεχείς συναρτήσεις με Αρχική

Μέλη σε σύνδεση